1 . 已知函数，，．
（1）若且，求函数的最小值；
（2）若对于任意恒成立，求a的取值范围；
（3）若，求函数的最小值．

2 . 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的前项和；
（2）是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，；若不存在，说明理由；
（3）设，若对一切正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

3 . 公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变.
（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性， 则再在该分组内逐个检测排查，设每个组个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？
（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好， 或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？
（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.

4 . 若函数满足：对任意实数以及定义中任意两数、（），恒有，则称是下凸函数.
（1）证明：函数是下凸函数；
（2）判断是不是下凸函数，并说明理由；
（3）若是定义在上的下凸函数，常数，满足：，，且，求证：，并求在上的解析式.

5 . 若存在实数使得则称是区间的一内点．
（1）求证：的充要条件是存在使得是区间的一内点；
（2）若实数满足：求证：存在，使得是区间的一内点；
（3）给定实数，若对于任意区间，是区间的一内点，是区间的一内点，且不等式和不等式对于任意都恒成立，求证：

6 . 已知数列满足 .
(1)证明：当时，；
(2)证明： ()；
(3)证明：为自然常数.

7 . 设，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是

A．

B．

C．

D．

8 . 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是

A．

B．

C．

D．

9 . 已知为坐标原点，圆：， 圆：．分别为圆和圆上的动点，则的最大值为_______．

10 . 定义函数，，其中，符号表示数中的较大者，给出以下命题：
①是奇函数；
②若不等式对一切实数恒成立，则
③时，最小值是2450
④“”是“”成立的充要条件
以上正确命题是__________．（写出所有正确命题的序号）