1 . 设为虚数单位，为正整数，．
（1）用数学归纳法证明：；
（2）已知，试利用（1）的结论计算；
（3）设复数，求证：．

2 . 在平面直角坐标系 xoy 中，离心率为的椭圆C：(a>b>0)的左顶点为A，且A到右准线的距离为6，点P、Q是椭圆C上的两个动点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）如图，当P、O、Q共线时，直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点，求证：为定值；
（Ⅲ）设直线AP,AQ的斜率分别为k₁,k₂，当k₁k₂= -1时，证明直线PQ经过定点R．

3 . 如图：已知四棱柱的底面ABCD是菱形，=，且.

（1）试用表示，并求；
（2）求证：；
（3）试判断直线与平面是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．

4 . 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，，E是PC的中点，作于点F．求证：
(1)平面EDB；
(2)平面EFD．

5 . 用数学归纳法证明“＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成立，推证n＝k+1时，则不等式左边增加的项数共___项．

6 . 如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知圆O：x²＋y²＝4，椭圆C：＋y²＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D(－，0).设直线AB，AC的斜率分别为k₁，k₂.

(1) 求k₁k₂的值；
(2) 记直线PQ，BC的斜率分别为k_PQ，k_BC，是否存在常数λ，使得k_PQ＝λk_BC？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；
(3) 求证：直线AC必过点Q.

7 . 已知函数满足.
（1）若的定义域为，求证：对定义域内所有都成立；
（2）当的定义域为时，求的值域；
（3）若的定义域为，设函数，当时，求的最小值.

8 . 已知函数的定义域是且，对定义域内的任意都有，且当时，，.
（1）求证：函数是偶函数；
（2）求证：在上是增函数；
（3）解不等式：.

9 . 已知数列中，，其前项和满足，其中.
（1）求证：数列为等差数列，并求其通项公式；
（2）设为数列的前项和.
①求的表达式；
②求使的的取值范围．

10 . 已知函数．
（1）若g（2）=2，讨论函数h（x）的单调性；
（2）若函数g（x）是关于x的一次函数，且函数h（x）有两个不同的零点x₁，x₂．
①求b的取值范围；
②求证：．