1 . 已知数列的前n项和．
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．

2 . 已知数列中，数列的前n项和为满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)在和中插入k个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列.求数列的前50项和.

3 . 设数列前n项和为，且其中m为实常数， 且.
（1）求证：是等比数列；
（2）若数列的公比满足且，，求证：数列 是等差数列，并求的通项公式；
（3）若时，设，求数列的前n和.

4 . 1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？