名校
解题方法
1 . 已知正三棱柱
中，侧棱长为
，底面边长为2，D为AB的中点.
(1)证明：
；
(2)求二面角
的大小；
(3)求直线CA与平面
所成角的正弦值.
中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点.(1)证明：
；(2)求二面角
的大小；(3)求直线CA与平面
所成角的正弦值.
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2023-04-05更新
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2905次组卷
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6卷引用：天津市十二区重点学校2023届高三下学期联考(二)考前模拟数学试题
名校
2 . 已知底面
是正方形，
平面，
，
，点
、
分别为线段
、
的中点．
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)线段
上是否存在点
，使得直线
与平面所成角的正弦值是
，若存在求出
的值，若不存在，说明理由．
是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．
平面；(2)求平面
与平面夹角的余弦值；(3)线段
上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由．
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2023-03-31更新
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2696次组卷
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12卷引用：天津市十二区重点学校2023届高三下学期毕业班联考(一)数学试题
天津市十二区重点学校2023届高三下学期毕业班联考(一)数学试题天津市蓟州区第一中学2024届高三第一次校模拟考数学试卷天津市耀华中学2024届高三上学期第一次月考数学试题天津市南开区南开中学2024届高三上学期统练6数学试题天津市咸水沽第一中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题天津市武清区英华实验学校2023-2024学年高二上学期第三次统练数学试题（已下线）黄金卷04天津市西青区杨柳青第一中学2023-2024学年高二下学期第一次质量检测数学试题（已下线）专题07立体几何的向量方法（已下线）天津市耀华中学2024届高三上学期第一次月考数学试题变式题16-20河南省洛阳市偃师高级中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题（已下线）专题7.3 空间角与空间中的距离问题【九大题型】
3 . 如图，四棱锥
中，平面
平面
是
中点，
是上一点.
(1)当
时，
（i）证明：
平面
；
（ii）求直线
与平面所成角的正弦值；
(2)平面与平面
夹角的余弦值为
，求
的值.
中，平面平面是中点，是上一点.(1)当
时，（i）证明：
平面；（ii）求直线
与平面所成角的正弦值；(2)平面
与平面夹角的余弦值为，求的值.
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名校
解题方法
4 . 在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体
，
，
，
，
底面
，四边形
是边长为2的正方形且平行于底面，
，
，
的中点分别为，
，
，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求平面与平面
夹角的余弦值；
(3)一束光从玻璃窗面上点
射入恰经过点
（假设此时光经过玻璃为直射），求这束光在玻璃窗上的入射角的正切值．
，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，．(1)证明：
平面；(2)求平面
与平面夹角的余弦值；(3)一束光从玻璃窗面
上点射入恰经过点（假设此时光经过玻璃为直射），求这束光在玻璃窗上的入射角的正切值．
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2023-03-28更新
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977次组卷
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3卷引用：天津市河东区2023届高三一模数学试题
5 . 如图，在四棱锥中，是
的中点，
平面，且
，
.
(1)求证：
；
(2)求直线与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面夹角的大小.
中，是的中点，平面，且，.(1)求证：
；(2)求直线
与平面所成角的正弦值；(3)求平面
与平面夹角的大小.
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2023-03-24更新
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887次组卷
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2卷引用：天津市部分区2023届高三下学期一模数学试题
名校
解题方法
6 . 在如图所示的几何体中，
平面
平面
；
是
的中点.
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面的夹角的余弦值.
平面平面；是的中点.
；(2)求直线
与平面所成角的正弦值；(3)求平面
与平面的夹角的余弦值.
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2023-03-20更新
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1322次组卷
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2卷引用：天津市和平区2023届高三下学期一模数学试题
名校
7 . 如图，
平面ABCD，
，
，
，
，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点.
(1)求证：
平面CPM；
(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小；
(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为
，求N到平面CPM的距离.
平面ABCD，，，，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点.(1)求证：
平面CPM；(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小；
(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为
，求N到平面CPM的距离.
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2023-02-22更新
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2231次组卷
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6卷引用：天津外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高三下学期统练22数学试题
名校
解题方法
8 . 四棱锥中，面，
，
，是的中点，在线段上，且满足
．
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值；
(3)在线段上是否存在点
，使得
与平面
所成角的余弦值是
，若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．
中，面，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：
平面；(2)求二面角
的余弦值；(3)在线段
上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
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2023-01-31更新
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1169次组卷
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24卷引用：天津市滨海新区七所重点学校2017-2018学年高三毕业班联考数学（理）试题
天津市滨海新区七所重点学校2017-2018学年高三毕业班联考数学（理）试题天津市咸水沽第一中学2021届高三下学期模拟检测(四)数学试题天津市南开中学2023届高三统练24数学试题【全国校级联考】滨海新区七所重点学校2018届高三毕业班联考数学（理）试题天津市实验中学2019-2020学年高三上学期第二次阶段考试数学试题天津市南开大学附中2020-2021学年高三上学期第二次月考数学试题天津市实验中学2019-2020学年高二（上）第二次段考数学试题天津市第四中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学试题天津市滨海新区塘沽紫云中学2024届高三上学期期末模拟数学试题（六）黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2020-2021学年高二10月月考数学（理）试题江西省赣县第三中学2020-2021学年高二12月月考数学（理）试题湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高一下学期第二次阶段性检测数学试题黑龙江省鹤岗市第一中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题（已下线）第04讲 空间向量的应用（教师版）-【帮课堂】北京市西城区北京师范大学第二附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题四川省资阳中学校2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理）试题黑龙江省七台河市勃利县高级中学2021-2022学年高二上学期9月月考数学试题（已下线）2022年高考考前20天终极冲刺攻略（三）【理科数学】 （5月27日）北京市北京师范大学第二附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题北京市师大二附中2020-2021学年高二上学期期中数学试题北京市首都师范大学附属中学昌平学校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题北京市首都师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）天津市耀华中学2024届高三上学期第一次月考数学试题变式题16-20（已下线）单元高难问题01探索性问题（各大名校30题专项训练）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）
名校
解题方法
9 . 如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，
，直线与底面所成的角
，，，分别是
，，的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
；
(3)求二面角
的余弦值；
(4)若
，求棱锥
的体积．
，底面为菱形，平面，，直线与底面所成的角，，，分别是，，的中点．(1)证明：
平面；(2)证明：
；(3)求二面角
的余弦值；(4)若
，求棱锥的体积．
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名校
解题方法
10 . 如图，在四棱锥中，平而
为的中点，在上，且
(1)求证：
平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值；
(3)点是线段
上异于两端点的任意一点，若满足异面直线
与
所成角的余弦值为
，求
的长．
中，平而为的中点，在上，且(1)求证：
平面；(2)求平面
与平面所成二面角的正弦值；(3)点
是线段上异于两端点的任意一点，若满足异面直线与所成角的余弦值为，求的长．
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2023-01-12更新
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681次组卷
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3卷引用：天津市2023届高三高考前最后一卷数学试题
天津市2023届高三高考前最后一卷数学试题天津市静海区第一中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题（已下线）专题06 用空间向量研究距离、夹角问题10种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)
