1 . 为以为直角顶点的直角三角形，且，，为上一动点，沿将三角形折起形成直二面角，当长度最短时，______，此时二面角的平面角的正弦值为______.

2 . 已知菱形的边长为，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则__________；二面角的余弦值是__________.

3 . 在四面体中，平面于点，点到平面的距离为，点为的重心，二面角的大小为，则__________．

4 . 已知正方体的边长为1，球的半径为1，记正方体内部的球表面为曲面，过点作平面与曲面相切，记切点为，平面与平面所成二面角为，则当最小时，平面截正方体所形成图形的周长为______.
   

5 . 在四面体中，二面角、、的大小相等，则点在平面上的投影是的______心．

6 . 若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是______．

7 . 正方体的棱长为2，则平面与平面所成角为______；平面与平面的距离为______.

8 . 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD，则在三棱锥A﹣BCD中，下列判断正确的是_____．（写出所有正确的序号）

①平面ABD⊥平面ABC
②直线BC与平面ABD所成角是45°
③平面ACD⊥平面ABC
④二面角C﹣AB﹣D余弦值为