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解析

| 共计 915 道试题

2022·全国·高考真题

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

证明线面平行面面角的向量求法

真题名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角证明线线、线面平行的方法

1 . 如图，

是三棱锥

的高，

，

，E是

的中点．

(1)证明：

平面

；
(2)若

，

，

，求二面角

的正弦值．

2022-06-09更新 | 53421次组卷 | 50卷引用：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

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2022·全国·高考真题

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

证明线面垂直证明面面垂直线面角的向量求法

真题名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角证明面面垂直的方法

2 . 如图，四面体

中，

，E为

的中点．

(1)证明：平面

平面

；
(2)设

，点F在

上，当

的面积最小时，求

与平面

所成的角的正弦值．

2022-06-07更新 | 48651次组卷 | 47卷引用：湖南省长郡中学2023届高三下学期月考(七)数学试题

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2023·北京·高考真题

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

证明线面垂直面面角的向量求法

真题名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角证明线线、线面垂直的方法

3 . 如图，在三棱锥

中，

平面

，

．

(1)求证：

平面PAB；
(2)求二面角

的大小．

2023-06-19更新 | 20508次组卷 | 28卷引用：湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考数学试题（五）

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2021·全国·高考真题

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

求二面角线面垂直证明线线垂直空间位置关系的向量证明面面角的向量求法

真题名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角证明线线、线面垂直的方法

4 . 已知直三棱柱

中，侧面

为正方形，

，E，F分别为

和

的中点，D为棱

上的点．

（1）证明：

；
（2）当

为何值时，面

与面

所成的二面角的正弦值最小?

2021-06-07更新 | 58056次组卷 | 141卷引用：湖南省邵阳市邵东市第一中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题

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2021·全国·高考真题

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

证明面面垂直面面角的向量求法

真题名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角证明面面垂直的方法

5 . 在四棱锥

中，底面

是正方形，若

．

（1）证明：平面

平面

；
（2）求二面角

的平面角的余弦值．

2021-06-25更新 | 56078次组卷 | 78卷引用：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学试题

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2022·浙江·高考真题

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

线面垂直证明线线垂直线面角的向量求法

真题名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角证明线线、线面垂直的方法

6 . 如图，已知

和

都是直角梯形，

，

，

，

，

，

，二面角

的平面角为

．设M，N分别为

的中点．

(1)证明：

；
(2)求直线

与平面

所成角的正弦值．

2022-06-10更新 | 20482次组卷 | 32卷引用：湖南省永州市江华瑶族自治县第一中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题

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2023·黑龙江哈尔滨·一模

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

求点面距离已知线面角求其他量面面角的向量求法

名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角等体积法求点面距离

7 . 如图，在四棱锥

中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面

平面ABCD，

．

(1)求点A到平面PBC的距离；
(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为

，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．

2023-03-10更新 | 7535次组卷 | 17卷引用：湖南师范大学附属中学2023届高三一模数学试题

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2018·全国·高考真题

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

证明线面垂直线面角的向量求法面面角的向量求法

真题名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角证明线线、线面垂直的方法

8 . 如图，在三棱锥

中，

，

，

为

的中点．

（1）证明：

平面

；
（2）若点

在棱

上，且二面角

为

，求

与平面

所成角的正弦值．

2018-06-09更新 | 41494次组卷 | 94卷引用：湖南省长沙同升湖实验学校2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题

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2023·广东广州·二模

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

基本不等式求积的最大值锥体体积的有关计算证明面面垂直线面角的向量求法

名校

解题方法

向量法求线线、线面、面面角证明面面垂直的方法

9 . 如图，在直三棱柱

中，

，点D是

的中点，点E在

上，

平面

.

(1)求证：平面

平面

；
(2)当三棱锥

的体积最大时，求直线

与平面

所成角的正弦值.

2023-04-19更新 | 4186次组卷 | 7卷引用：湖南省长沙市周南中学2023届高三二模数学试题

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2023·广东惠州·模拟预测

解答题-问答题 | 较易(0.85) |

证明面面垂直空间位置关系的向量证明线面角的向量求法点到平面距离的向量求法

名校

解题方法

等体积法求点面距离向量法求空间距离

10 . 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．

(1)证明：平面

平面PBC；
(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为

，求点P到平面AEF的距离．

2023-02-03更新 | 3974次组卷 | 14卷引用：湖南省岳阳县第一中学2022-2023学年高三下学期第一次月考数学试题

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