1 . 求满足下列条件的曲线方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点；
(2)若动点P在上移动，求点P与点连线的中点的轨迹方程．

2 . 如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则这两双曲线互为“共轭双曲线”.已知双曲线的共轭双曲线的离心率为.
(1)求的方程；
(2)若直线与的右支交于两点，且以线段为直径的圆与轴相切，求的值.

3 . 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 2，   是上一点，且，的周长为 12.
(1)求C的方程;
(2)过的直线与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明： 为定值.

4 . 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)求双曲线的离心率和渐近线方程；
(3)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且 (其中为坐标原点)，求实数取值范围.

5 . 命题：直线与圆有公共点，命题：双曲线的离心率.
(1)若均为真命题，求实数的取值范围；
(2)若一真一假，求实数的取值范围.

6 . 已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点到渐近线的距离为1，且离心率为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线（直线的斜率不为0）与双曲线交于，两点，若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别记为，，求的值.

7 . 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线有唯一的公共点，求的值．

8 . 已知双曲线，其左、右顶点分别为，其离心率为，且虚轴长为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)一动点与的连线分别与双曲线的右支交于，两点，且恒过双曲线的右焦点，求证：点在定直线上.

9 . 已知，是双曲线的左右焦点，其离心率为，虚轴长为．
(1)求的方程；
(2)直线与交于，两点，设为坐标原点，点的坐标为，的面积为S，求的值．

10 . 已知双曲线，点，都在双曲线上，且的右焦点为.
(1)求的离心率及其渐近线方程；
(2)设点是双曲线C右支上的任意一点，记直线和的斜率分别为，证明：.