名校
解题方法
1 . 已知双曲线
左右焦点分别为
，
，点
在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为
，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线
，
，已知与
双曲线左支交于
，
两点，与左右两支分别交于
，
两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若线段
，
的中点分别为
，
，求证：直线
恒过定点，并求出该定点坐标.
左右焦点分别为，，点在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线，，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，两点.(1)求双曲线
的方程；(2)若线段
，的中点分别为，，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标.
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7日内更新
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689次组卷
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2卷引用：山东省青岛第二中学2024届高三下学期二模考试数学试题
2 . 已知双曲线C：
的左右顶点分别为
，
，过点
的直线
与双曲线C的右支交于M，N两点.
(1)若直线
的斜率k存在，求k的取值范围；(2)记直线
，
的斜率分别为
，
，求
的值；(3)设G为直线
与直线的交点，
，
的面积分别为
，
，求
的最小值.
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名校
解题方法
3 . 已知点
为双曲线
上的动点.
(1)判断直线
与双曲线的公共点个数，并说明理由；
(2)（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；
（ii）将双曲线
的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为
，请利用该方程证明如下命题：若
为双曲线上一点，直线：
与的两条渐近线分别交于点
，则
为线段
的中点.
为双曲线上的动点.(1)判断直线
与双曲线的公共点个数，并说明理由；(2)（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；
（ii）将双曲线
的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为，请利用该方程证明如下命题：若为双曲线上一点，直线：与的两条渐近线分别交于点，则为线段的中点.
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2024-03-04更新
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1018次组卷
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4卷引用：山东省烟台市牟平第一中学2023-2024学年高二下学期3月限时练（月考）数学试题
山东省烟台市牟平第一中学2023-2024学年高二下学期3月限时练（月考）数学试题广东省汕头市2024届高三第一次模拟考试数学试题江苏省盐城市五校联考2023-2024学年高二下学期第一次学情调研检测（3月）数学试题（已下线）第26题 圆锥曲线压轴大题（1）（高三二轮每日一题）
解题方法
4 . 已知O为坐标原点，点P在椭圆
上，
的左、右焦点
恰为双曲线
的左、右顶点，的离心率
．
(1)求的标准方程；
(2)若直线l与相交于A，B两点，AB中点W在曲线
上．探究直线AB与双曲线
的位置关系.
上，的左、右焦点恰为双曲线的左、右顶点，的离心率．(1)求
的标准方程；(2)若直线l与
相交于A，B两点，AB中点W在曲线上．探究直线AB与双曲线的位置关系.
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23-24高三上·山东德州·期末
名校
解题方法
5 . 双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线
的左，右焦点，过右支上一点
作双曲线的切线交
轴于点，交
轴于点，则（ ）
分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则（ ）A．平面上点 的最小值为 |
B．直线的方程为 |
C．过点作 ，垂足为 ，则 （ 为坐标原点） |
D．四边形 面积的最小值为4 |
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6 . 已知直线
与曲线
．
(1)若与交于
，两点，点
，直线
与
的斜率之积为1，证明：直线过定点；
(2)若与相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于
，
两点，求
的最小值．
与曲线．(1)若
与交于，两点，点，直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点；(2)若
与相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点，求的最小值．
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7 . 已知圆F：
，点
，点G是圆F上任意一点，线段EG的垂直平分线交直线FG于点T，点T的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C上一点
，动圆N：
，且点M在圆N外，过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点A，B
①求证：直线AB的斜率为定值；
②若直线AB与
交于点Q，且
时，求直线AB的方程．
，点，点G是圆F上任意一点，线段EG的垂直平分线交直线FG于点T，点T的轨迹记为曲线C．(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C上一点
，动圆N：，且点M在圆N外，过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点A，B①求证：直线AB的斜率为定值；
②若直线AB与
交于点Q，且时，求直线AB的方程．
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2024-02-03更新
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1093次组卷
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3卷引用：山东省济南市山东师大附中2023-2024学年高二上学期期中学情检测数学试题
解题方法
8 . 已知双曲线：
的一条渐近线方程为
，点
在上．
(1)求的方程；
(2)过右焦点的直线交于
，
两点，若
，求的方程．
：的一条渐近线方程为，点在上．(1)求
的方程；(2)过
右焦点的直线交于，两点，若，求的方程．
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2023-09-13更新
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596次组卷
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3卷引用：山东省济南市2023-2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题
9 . 已知双曲线
，在双曲线的右支上存在不同于点
的两点，，记直线
的斜率分别为
，且，
，成等差数列．
(1)求的取值范围；
(2)若
的面积为
（为坐标原点），求直线的方程．
，在双曲线的右支上存在不同于点的两点，，记直线的斜率分别为，且，，成等差数列．(1)求
的取值范围；(2)若
的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
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2023-06-17更新
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836次组卷
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4卷引用：山东省招远市第二中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题
山东省招远市第二中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题浙江省丽水市2022-2023学年高二上学期期末数学试题江苏省南京市第一中学2023届高三下学期高考适应性考试数学试题（已下线）每日一题 第20题 最值问题 减元降次（高二）
10 . 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，
的角平分线记为l，过点M作l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求
的最大值.
的左、右焦点分别为、，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，
的角平分线记为l，过点M作l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求的最大值.
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