【推荐1】如图，抛物线与椭圆交于第一象限内一点，为抛物线的焦点，分别为椭圆的上下焦点，已知

（1）求抛物线和椭圆的方程；
（2）是否存在经过M的直线，与抛物线和椭圆分别交于非M的两点，使得？若存在请求出直线的斜率，若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知M是抛物线上一点，F是抛物线C的焦点，．
（Ⅰ）求直线MF的斜率；
（Ⅱ）已知动圆E的圆心E在抛物线C上，点在圆E上，且圆E与y轴交于A，B两点，令，，求最大值．

【推荐3】已知抛物线上一点到焦点的距离为3，点到轴的距离恰为.
(1)求点的坐标；
(2)过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线上是否存在一定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值.

【推荐2】淮南市位于安徽省中北部，地处长江三角洲腹地，淮河之滨，素有“中州咽喉，江南屏障”、“五彩淮南”之称，是沿淮城市群的重要节点，如图所示，淮南市准备在淮河的一侧修建一条直路，另一侧修建一条观光大道，它的前一段是以为顶点，轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段是函数，时的图像，有，且最高点与点的距离为，，垂足为.

(1)求函数的解析式；
(2)若在淮河上修建如图所示的矩形水上乐园，问点落在曲线上何处时，水上乐园的面积最大？

【推荐3】已知抛物线：的焦点为点F，点M在第一象限，且在抛物线上，若，且点M到y轴的距离1，延长MF交抛物线点N．
(1)求抛物线的方程及线段MN的长；
(2)直线l与抛物线交于A，B两点，记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，当时，直线l是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

【推荐1】已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的两条直线、分别交抛物线于点、和 、，线段和的中点分别为、．如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点．

【推荐2】已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、.如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点.

【推荐3】已知圆M过点，且与直线相切．
(1)求圆心M的轨迹的方程；
(2)过点的直线交抛物线于A，B两点，过点和A的直线与抛物线交于另一点C，证明：直线CB过定点．

【推荐1】已知抛物线上的点与的距离.

(1)求抛物线E方程；
(2)若，直线与抛物线交于两点，P为抛物线上不同于的动点，直线，分别交直线于M，N两点，且M，N的纵坐标之积为，直线是否过定点，请求出此定点；若不过定点，请说明理由.

【推荐3】已知F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过点的直线与抛物线交于A，B两点，且满足．
(1)求的值；
(2)若，求直线AB的方程．