【推荐1】已知函数在上有意义，且对任意满足.
（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若时，，则能否确定在的单调性？若能，请确定，并证明你的结论，若不能说明理由.

【推荐2】定义在非零实数集上的函数对任意非零实数满足:,且当时.
(1)求及的值；
(2)求证:是偶函数；
(3)解不等式：.

【推荐3】定义在上的奇函数对任意实数，都有 .
（1）求证：函数对任意实数，都有 ；
（2）若时，且，求在上的最值

【推荐1】已知函数且函数是偶函数，设
（1）求的解析式：
（2）若不等式在区间上有解，求实数m的取值范围；
（3）若方程有三个不同的实数根，求实数k的取值范围.

【推荐2】已知函数f（x）是R上的奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若对任意实数x，不等式f[f（x）﹣m]0恒成立，求m的取值范围．

【推荐3】已知（且）是R上的奇函数，且．
(1)求的解析式；
(2)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，设，记，是否存在正整数n，使不等式有解？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由．

【推荐1】设函数．
(1)设，求函数的单调区间；
(2)求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件；
(3)设，，，证明：函数恰有一个零点r，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.

【推荐2】若数列满足①，②存在常数与无关），使.则称数列是“和谐数列”.
（1）设为等比数列的前项和，且，求证：数列是“和谐数列”；
（2）设是各项为正数，公比为q的等比数列，是的前项和，求证：数列是“和谐数列”的充要条件为.

【推荐3】对于正整数与实数，，…，，记.
（1）若，求，的取值范围；
（2）当时，判断:是否存在实数，，…，，使得成立.若存在，请求出任意一组，，…，的值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知定义在R上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且在任意区间上不是常值函数.设，其中分点将区间分成个小区间，记称为关于区间的n阶划分的“落差总和”.当取得最大值且n取得最小值时，称存在“最佳划分”.
（1）已知，求的最大值(不必论证)；
（2）已知，求证：在区间上存在“最佳划分”的充要条件是在区间上单调递增.

【推荐3】设定义域为的函数同时满足以下三个条件时称为“友谊函数”：①对任意的，总有；②；③则有成立．
请根据以上信息回答下列问题：
（1）若为“友谊函数”，求；
（2）证明函数在区间上是“友谊函数”；
（3）若为“友谊函数”，且，比较与的大小.