已知双曲线
的右焦点为F，双曲线C上一点
关于原点的对称点为
，满足
.
(1)求
的方程；
(2)直线
与坐标轴不垂直，且不过点
及点，设与交于
、
两点，点关于原点的对称点为
，若
，证明：直线的斜率为定值.
的右焦点为F，双曲线C上一点关于原点的对称点为，满足.(1)求
的方程；(2)直线
与坐标轴不垂直，且不过点及点，设与交于、两点，点关于原点的对称点为，若，证明：直线的斜率为定值.
更新时间：2023-02-07 11:14:13
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解题方法
【推荐1】已知圆经过两点
，
，且圆心在直线
上．
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线：
与圆相交于
，
两点，
为坐标原点，若
，求直线的方程.
经过两点，，且圆心在直线上． （1）求圆
的标准方程； （2）设直线
：与圆相交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程.
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【推荐2】已知椭圆
，
，
为其左、右焦点，椭圆上有相异两点，，为坐标原点.
（1）若
，
，直线
，直线
，直线
的斜率满足
，当
取得最大值时，试求直线的方程.
（2）若为椭圆上除长轴端点外的任一点，△
的内心为Ⅰ，试求线段
的取值范围.
，，为其左、右焦点，椭圆上有相异两点，，为坐标原点.（1）若
，，直线，直线，直线的斜率满足，当取得最大值时，试求直线的方程.（2）若
为椭圆上除长轴端点外的任一点，△的内心为Ⅰ，试求线段的取值范围.
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，
，且
，A，B，C三点满足
.
的最小值为
，求实数m的值.
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名校
【推荐1】已知点
为双曲线
的左右焦点，过作垂直于
轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且
的面积为
.圆的方程是
.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为
，求
的值；
(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于
两点，中点为，若
恒成立，试确定圆半径
.
为双曲线的左右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且的面积为.圆的方程是.(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线上任意一点
作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，求的值；(3)过圆
上任意一点作圆的切线交双曲线于两点，中点为，若恒成立，试确定圆半径.
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解题方法
【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的方程为
，设AB是过椭圆C中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上与O不重合的点.
（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；
（2）若
，当点A在椭圆C上运动时，求点M的轨迹方程；
（3）记M是l与椭圆C的交点，若直线AB的方程为
，当
面积取最小值时，求直线AB的方程；
，设AB是过椭圆C中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上与O不重合的点.（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；
（2）若
，当点A在椭圆C上运动时，求点M的轨迹方程；（3）记M是l与椭圆C的交点，若直线AB的方程为
，当面积取最小值时，求直线AB的方程；
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，
的一条渐近线方程是
，坐标原点到直线AB的距离为
，其中
，
．
直线l与双曲线C交于M，N两个不同的点，过M作x轴的垂线分别交直线AB，直线AN于点P，Q．证明：P是MQ的中点．
【推荐1】已知双曲线
，点
，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线
在曲线上某点
处的切线方程为
）
(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N，
，求
的值；
(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记
，
，
的面积分别为
，问：是否存在常数m，使得
？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为）(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N，
，求的值；(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记
，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
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【推荐2】已知双曲线
与直线：
（
）有唯一的公共点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，其中点，在第一象限.
(1)探求参数
，
满足的关系式；
(2)若为坐标原点，
为双曲线的左焦点，证明：
.
与直线：（）有唯一的公共点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，其中点，在第一象限.(1)探求参数
，满足的关系式；(2)若
为坐标原点，为双曲线的左焦点，证明：.
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的左、右焦点分别为
，
垂直.
，
分别交
，
，问：
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解题方法
【推荐1】设，为双曲线：（
，
）的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，△
为等腰直角三角形．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，
①求双曲线方程；
②已知直线
，
分别交直线
于，两点，当直线的倾斜角变化时，以
为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
，为双曲线：（，）的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，△为等腰直角三角形．(1)求双曲线
的离心率；(2)若双曲线左支上任意一点到右焦点
点距离的最小值为3，①求双曲线方程；
②已知直线
，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
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【推荐2】已知
为双曲线
的左、右焦点，过点作垂直于
轴的直线，并在轴上方交双曲线
于点
，且
．
（1）求双曲线的方程；
（2）过圆
上任意一点
作圆
的切线
，交双曲线于
两个不同的点，的中点为
，证明：．
为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且．（1）求双曲线
的方程；（2）过圆
上任意一点作圆的切线，交双曲线于两个不同的点，的中点为，证明：．
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过点
，右焦点F为
，左顶点为A
交双曲线C于M，N两点，求证：
的垂心在双曲线C上．
