【推荐1】已知双曲线过点和点．
(1)求双曲线的方程．
(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．

【推荐2】已知双曲线的离心率为，点为上位于第二象限的动点，
（1）若点的坐标为(-2，3，求双曲线的方程；
（2）设分别为双曲线的右顶点､左焦点，是否存在常数，使得如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由.

【推荐3】已知是双曲线上的两个点，且关于原点对称．的两条渐近线互相垂直．
(1)求的方程；
(2)设是双曲线上一点，直线分别与直线交于两点，求的最小值．

【推荐1】双曲线C：的离心率为，点在C上.
(1)求C的方程；
(2)设圆O：上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.

【推荐2】已知焦点在轴上的双曲线的离心率为，焦点到其中一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的上焦点的直线交双曲线的上支于、两点．在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，求的大小；
(3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由.

【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程；
(3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值.

【推荐2】已知为坐标原点，双曲线的焦距为4，且经过点
(1)求的方程；
(2)若直线与交于，两点，且．
（i）设直线的方程为，求证：；
（ii）求的取值范围．

【推荐3】已知是双曲线上关于原点对称的两点，在第一象限且与关于轴对称，，直线交的右支于点.
(1)求的标准方程；
(2)过分别作的两条切线，且，记矩形的面积为，求证：.

【推荐1】如图所示，已知分别为双曲线的左､右顶点，为直线上的动点，若直线与的另一交点为，直线与的另一交点为点.

(1)设直线的斜率分别是，求证：为定值；
(2)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分记为，区域中动点到的距离之积为1.

（1）求点的轨迹的方程；
（2）对于区域中动点，求的取值范围；
（3）动直线穿过区域，分别交直线于两点，若直线与点的轨迹有且只有一个公共点，求证：的面积值为定值.

【推荐3】已知双曲线：，满足离心率为，且过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)在（1）的条件下，若直线过点，且与双曲线右支交于，两点，求直线的斜率的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在以为直径的圆经过坐标原点﹖若存在，请求出此时的直线；若不存在，请说明理由．