【推荐1】如图①，是由正三角形和正方形组成的平面图形，其中；将其沿折起，使得，如图②所示.

（1）证明：图②中平面平面；
（2）在线段上取一点，使，当三棱锥的体积为时，求的值.

【推荐2】在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别是AB、BC边上的点，且.

(1)求证：E、F、G、H四点共面；
(2)若平面EFGH截四面体ABCD所得的五面体的体积占四面体ABCD的，求k的值.

【推荐3】如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为，钉尖为，设.

(1)当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(2)若该“钉”着地后的四个线段根据需要可以调节与底面成角的大小，且保持三个线段与底面所成角相同，若，用的代数式表示的体积；
(3)在（2）的条件下，如果的体积是体积的，求的值（结果用反三角函数值表示）.

【推荐1】如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B′分别为的中点，O₁，O₁′，O₂，O₂′分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．

（1）证明：O₁′，A′，O₂，B四点共面；
（2）设G为A A′中点，延长A′O₁′到H′，使得O₁′H′=A′O₁′．证明：BO₂′⊥平面H′B′G

【推荐2】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.

   

(1)证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
(2)设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求四棱锥的外接球的表面积.

【推荐3】如图①，是由正三角形和正方形组成的平面图形，其中；将其沿折起，使得，如图②所示.

（1）证明：图②中平面平面；
（2）在线段上取一点，使，当三棱锥的体积为时，求的值.

【推荐1】如图，正三棱柱中，、分别为、的中点．

（1）证明：平面；
（2）若，，求点到平面的距离．

【推荐2】如图，在等腰三角形中，，，为线段的中点，为线段上一点，且，沿直线将翻折至，使，记二面角的平面角为.

（1）证明：平面平面；
（2）比较与的大小，并证明你的结论；

【推荐3】如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，点M在线段EC上．

(1)若M为EC的中点，求证：平面ADEF；
(2)求证：平面平面BEC；
(3)若平面BDM与平面ABF所成二面角的余弦值为，求AM的长．

【推荐1】如图,在底面为直角梯形的四棱锥ABCD，,BC=6.

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求二面角的大小.

【推荐2】如图，三棱锥的平面展开图中，，，，，为的中点．

(1)在三棱锥中，证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．

【推荐3】已知多边形是边长为2的正六边形，沿对角线将平面折起，使得.

（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由.