【推荐1】用两个平行平面去截半径为的球，两个截面圆的半径分别为，两截面间的距离，求该球的表面积和体积.

【推荐2】一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．
(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义域；
(2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．
（i）请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积；
（ii）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．

【推荐3】甲、乙两人进行比赛，现有两组图形，第一组为一个正方形及其外接圆和内切圆，第二组为一个正方体及其外接球和内切球，甲在第一组图形内部任取一点，则此点在正方形与其外接圆之间得3分，此点在内切圆与正方形之间得2分，此点在内切圆内部得1分，乙在第二组图形内部任取一点，则此点在正方体与其外接球之间得3分，此点在内切球与正方体之间得2分，此点在内切球内部得1分．
（1）分别求出甲得3分的概率和乙得3分的概率；
（2）预估在这种规则下，甲、乙两人谁的得分多．

【推荐1】如图，直三棱柱，高为，底面三角形的边长分别为AB=4a，BC=3a，AC=5a（a>0）．

（1）求直三棱柱外接球半径的最小值；
（2）若用这样的两个相同的直三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，表面积最小的是一个四棱柱，求a的取值范围．

【推荐2】已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，求球的半径.

【推荐3】如图，在梯形ABCD中，，，，E为AD的中点，以BE为折痕将折起，使点A到达点P的位置，连接PD，PC.

(1)证明：平面平面BCDE；
(2)当时，若几何体的顶点均在球O的表面上，求球O的表面积.

【推荐1】已知在正三棱柱中，，是棱的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）设，求三棱锥的体积；
（3）若把平面与平面所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由.

【推荐2】如图，在多面体中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h．

(1)求侧面与底面所成二面角的大小；
(2)证明：；
(3)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式来计算，已知它的体积公式是，试判断与V的大小关系，并加以证明．
注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面．

【推荐3】如图，平面ABCD平面ABE，点E为半圆弧上异于A，B的点，在矩形ABCD中，，设平面ABE与平面CDE的交线为l．

(1)证明：平面ABCD；
(2)当l与半圆弧相切时，求二面角A-DE-C的余弦值．

【推荐1】如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点，且．

（1）求证：；
（2）求证：面．

【推荐2】如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.

(1)求证：；
(2)点M在线段PD上，二面角的余弦值为，求三棱锥体积.

【推荐3】如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，且．

(1)证明：平面．
(2)若，，求点到平面的距离．