【推荐1】若存在正实数满足，则的最大值为______．

【推荐2】已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为______.

【推荐3】若函数，且的图象与直线没有交点，则的取值范围是______.

【推荐1】如图，在三棱锥中，点为的中点，点在平面的投影恰为的中点.已知，点到的距离为，则当最大时，二面角的余弦值是__________．

【推荐2】如图，在矩形中，，．将，分别沿，向上翻折至，，则取最小值时，二面角的正切值是________．

【推荐1】斜三棱柱中，平面平面，若，，，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱的高为______．

【推荐2】为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②．有下列四个结论：
①经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为
②异面直线AD与CF所成的角的余弦值为
③直线AD与平面DEF所成的角为
④球离球托底面DEF的最小距离为

其中正确的命题是__________请将正确命题的序号都填上

【推荐3】在矩形中，是的中点，，将沿折起得到，设的中点为，若将绕旋转，则在此过程中动点形成的轨迹长度为___________.