1 . 在菱形中，E为对角线上一动点（不与两端重合），过C、D、E三点作，其中，．

(1)连接，若，证明：为圆P的切线；
(2)当P在直线上时，求的长；
(3)将位于右上方的弧沿着折叠，当折叠后的弧经过点B时，则的长为___________．

2 . 已知，如图，直角中，．

(1)在内画正方形，使得点D在上，E在上，F、G在上（尺规作图，不写画法，保留画图痕迹）；
(2)若，，则（1）中所画的正方形的边长为___________．
(3)仅用无刻度的直尺在（1）的图中作一个三角形，使它的面积是面积的一半，并把所作的三角形用阴影表示出来．

3 . 如图①，现有长度分别为a、b、1的三条线段．

(1)【加、减】图②所示为长为的线段，请用尺规作出长为的线段．

(2)【乘】在图③中，，点B在上，，，交射线于点D．求证：线段的长为．

(3)【除】请用尺规作出长度为的线段．
(4)【开方】任意两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是有理数，而开方运算则打开了通向无理数的一扇门．请用两种不同的方法，作出长度为的线段．

4 . 当时，则a 的值是____________ ．

5 . 如图，、是上两点，过点的的切线与线段的延长线交于点．

(1)只用圆规在延长线上求作一点，使（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，求①的半径；②的长．

6 . 如图，将绕点A旋转得到．

(1)如图1，，当点落在边上，延长与交于点E．如果点E为边的中点，求的值；
(2)如图2，，当点落在边上，且与边相交于点E时，如果点E、分别为边、的中点，求的值．

7 . 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，直线交于第一象限内的点，且的面积为10．

(1)求二次函数的表达式；
(2)点为轴上一点，过点作轴的平行线交线段于点，交抛物线于点，当时，求点的坐标；
(3)已知点是轴上的点，若点关于直线的对称点恰好落在二次函数的图象上，求的值．

8 . 商场销售A，B两种商品，其进价，售价如表所示．

商品	进价（元/件）	售价（元/件）
A	15	20
B	35	45

(1)若商场投入3000元购进两种商品共100件，求商场分别购进A，B两种商品的数量；
(2)为了加快销售进度，该商场对商品进行促销，若一次性购物总额不超过500元，则九折优惠；若一次性购物总额超过500元则八折优惠，某单位到该商场购买了这两种商品共付款432元，求该商场获得的最小利润和最大利润．

9 . 综合与实践课上，老师让同学们以“抛物线中三角形面积”为主题开展数学活动．
【问题背景】
在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别是、、，抛物线经过A、B、C，点D坐标是，点P是抛物线上位于x轴上方一点．

【特殊化探究】
（1）若，
①求a、b、c的值；
②求面积的最大值．
【一般化思考】
（2）①对于每一个正数m，面积都存在最大值，试用含m的代数式表示最大面积S；
②在①的条件下，试探究：的最大面积S是否存在最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，在菱形中，，，点是延长线上任一点，平分交于点．

   

(1)【初步思考】求证：；
(2)【深入探究】若，，求的值；
(3)【逆向思考】若，当的值在变化时，在上是否存在点，使得为定值，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．