3 . 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：

【实践探究】
（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则_________；
【解决问题】
（2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，，．
①如图2，当时，求证：平分；
②如图3，当点F落在上时，连接交于点，则_________；
【迁移应用】
（3）如图4，正方形的边长为5，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，则_________；
（4）如图5，在菱形中，，是边上一点（不与点C、D重合），连接，将线段绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．若，则_________．

4 . 已知：的半径为6，为直径，点B，C为的三等分点，连结交于点F，连结交于点G，连结，，，作于点H．

(1)如图1，若点H与点O重合．
①求证：；
②求的长．
(2)如图2，若点H与点O不重合，，连结，．
①求证：四边形是菱形．
②求四边形的面积．

5 . 问题背景：苏科版八年级下册数学教材第95页“探索研究”

（1）如图1，正方形的对角线相交于点O，正方形的顶点与点O重合．将正方形绕点旋转，在这个过程中，这两个正方形重合部分的面积是正方形面积的__________．
问题迁移：
（2）等边三角形的中线相交于点O，先将绕点O逆时针旋转，再沿线段方向平移，得到，点O、A、B的对应点分别为、、，且，在这个过程中，的边，所在射线分别交AB，BC于点M，N．
①如图2，当与重合时，求证：；
②如图3，当时，判断和之间的数量关系，并说明理由；
问题拓展：
③如图4，连接MN，记周长为，在a、k的变化过程中，存在a、k的值，使得MN平分的周长，此时，的结果是否会发生变化？如不变，请求出其值；如变化，求出的最小值．

9 . 如图， 在中， ， ， 平分交 于点，点E为上一动点，点是上一动点，连接 ，以 为斜边向上构造等腰 ，延长交于， 连接， 则 _______

10 . 在中，，为平面上一动点，且，将绕点顺时针旋转到，连接，．

(1)如图1，点在左上方，且，则      °，      ；
(2)如图2，当点A在内部且A、B、E三点在一条直线上时，求的长度；
(3)当的面积正整数时，求出满足条件的点D的个数．