1 . 已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形中，是一条对角线，，则点与点关于互为顶针点：若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点．
【初步思考】（1）如图2，在中，，，为外两点，，，为等边三角形．
①点与点______关于互为顶针点；
②求证：点与点关于互为勾股顶针点．
【实践操作】（2）在长方形中，．
①如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点．（不用证明，不写作法，保留作图痕迹）
【思维探究】②如图4，点是线段上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点，在点运动过程中，当线段与线段的长度相等时，求的长．

2 . 如图，在正方形中，点E在对角线上，连接，点F在的延长线上，且．

(1)求证：；
(2)用等式表示线段的数量关系并证明．

3 . 思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），请你根据图形写出已知和求证，并完成证明过程．
已知：　　　　　　　　，求证：　　　　　　　．
证明：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
(2)如图2，在平行四边形 中，对角线和相交于点O，，，．求证：平行四边形是菱形．

4 . 如图，四边形是平行四边形，于E．

（1）尺规作图：过点C作于点F，连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：．将下面的过程补充完整．
证明：∵，，
∴①____________，；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴②____________，，
∴③____________．
在和中，
，
∴，
∴④____________，
又∵，
∴四边形是⑤____________；（⑥____________）（填推理的依据）
∴．

6 . 如图，在平行四边形中，连接相交于点 O．

(1)求作：的平分线交于点E，的平分线交于点F ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：．
证明：∵               ，
∴　　　　　　　，
∴，
∵平分，
∴　　　　　　　，                      
∵　　　　　　　，
∴ ，
∴　　　　　　　，
∴．

7 . 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．

平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分．我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图1，的对角线和相交于点． 求证：，．

（1）请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
（2）【性质应用】如图2，在中，对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．求证：．

（3）【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接．若，的周长是9，则的周长是______．

8 . 如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点．

(1)①直接写出点的坐标；
②求证：
(2)如图2，若，在上找一点，使四边形是平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图，连接交于F，连接FM，下列两个结论：①的长为定值：②平分，其中只有一个正确，选择并证明．

9 . 已知：如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接

(1)求证：是的中点
(2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论

10 . 请先把下面三角形的中位线定理补充完整，再证明．
三角形的中位线______三角形的第三边，并且______第三边的一半．
已知：如图，在中，D、E分别是边的中点．
求证：，且．