1 . 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别相交于，两点．

   

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是第一象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②若是的中点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．

2 . 二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，点坐标为．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若当随x增大而减小，则取值范围为______；
(3)当时，二次函数的最大值为3，求的值．

3 . 如图，抛物线与轴相交于点，交轴于点，点是线段上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接，求四边形面积的最大值．

4 . 如图，抛物线经过，，直线交x轴于点C，P是直线上方抛物线上的一个动点，，垂足为点D，轴，交直线于点E．
   
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当的周长最大时，求点P的坐标及的周长最大值；
(3)将抛物线平移．使得新抛物线的顶点为（2）中的P点，M为新抛物线上的点，N为新抛物线对称轴上的点，若以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．

5 . 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为，已知P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；
(3)设M为直线l上的动点，以为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标．

6 . 如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点A，B，且B点的坐标为．

(1)求该抛物线的解析式．
(2)若点P是上的一动点，过点P作，交于E，连接，求面积的最大值．
(3)若点D为的中点，点M是线段上一点，且为等腰三角形，求M点的坐标．

7 . 疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，早上至之间的十分钟是学生上学的集中时间，规定时间内学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，已知这十分钟的变化情况可以看成是二次函数，并在第10分钟累计的学生数达到最多．

(1)求y关于x的函数表达式．
(2)为了减少排队等候的时间，在学校门口设置了两个智能体温检测点，已知每个检测点每分钟可以检测60人，已知第x分钟学校门口排队人数为z人，求z关于x的表达式，并求出z的最大值．

8 . 综合与探究
如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)P为线段上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S．
①求的面积S的最大值．
②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

9 . 如图1、二次函数的图象经过和，交y轴于点C，连接．点D为第一象限抛物线上一动点，过点D分别作x轴和y轴的垂线，交于点E和点F．

(1)求此二次函数的解析式；
(2)求面积的最大值及此时点D的坐标；
(3)当面积最大时，在抛物线上是否存在一点M，使，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．