1 . 如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点的坐标为，于点，连接．

(1)求抛物线的函数表达式和点的坐标；
(2)将抛物线沿轴向下平移一定距离后得到抛物线，已知抛物线的顶点为，且抛物线与轴无交点，点为平面直角坐标系中一点，请问是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的菱形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果函数图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则把该函数称之为“开心函数”，其图象上纵坐标是横坐标3倍的点叫做“开心点”．
(1)判断以下函数上是否是“开心函数”，若是，则打√，若不是，则打“×”；
①________   ②________   ③________
(2)关于x的函数（a为常数）是“开心函数”吗？如果是，指出有多少个“开心点”，如果不是，请说明理由；
(3)若抛物线（a、b、c为常数），与x轴分别交于，两点，其中；与y轴交于C点，抛物线顶点为P点，点M为第三象限抛物线上一动点，且点M的横坐标为t，连接，交于N点，连接，，记，，若满足：①抛物线顶点P为“开心点”；②；③是等边三角形；若，的最大值为，求m的值．

3 . 如图1所示是某家具厂的抛物线木板余料，其最大高度为，最大宽度为，现计划将此余料进行切割：

(1)如图2，以的中点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式；
(2)工人师傅现需要一块边长为的正方形木板，为了切割方便，要求一边在底部边缘上，这块余料能否满足工人的需求？如果能，请说出切割方案，如果不能，请说明理由；
(3)若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长；
(4)若切割成宽为的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请直接写出拼接后的矩形的长边长（结果保留根号）．注意：思考中可能会用到的数据，，．

5 . 如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为，运动员（将运动员看成一点）从原点O点起跳，在空中运动的路线是经过点O的抛物线．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻转、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线满足另一条抛物线．一个运动员在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为．

(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式，并求出入水处点B的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5.5米，则该运动员此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由．
(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线表达式为，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请求运动员入水最大水深的范围．

8 . 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中，，点P是第一象限内抛物线上的动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，，当的面积最大时，求出此时点P的坐标和的最大面积．
(3)如图3，连接，使，点Q在x轴上且，求点P坐标．

9 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，对称轴过点，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点，交直线于点，其中点在抛物线对称轴的左侧．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求点的坐标．