1 . 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，

(1)求网格上的的周长．
(2)请判断是不是直角三角形，并说明理由．
(3)点P是边上的一个动点，则线段的最小值为         ．

2 . 如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．

            
(1)①求的长度（用含有的代数式表示）；
②求的值，并写出的解析式；
(2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由；
(3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由．

3 . 随着去年冬天哈尔滨的冰雪旅游火爆出圈后，全国各地旅游局都开始更加重视当地的旅游建设．鸡西市文旅局发现一条笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个漂流点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点（在一条直线上），并新修一条路测得千米，千米，千米．

(1)问是否为从旅游地到河的最近的路线？请通过计算加以说明；
(2)求原来路线的长．

4 . 如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为．

(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)求喷泉B到小路的最短距离．

5 . 如图，直线分别与轴、轴相交于，两点，为坐标原点，点的坐标为，过线段上一点（不与端点重合）作轴、轴的垂线，垂足分别为，．

(1)求的值；
(2)当矩形的周长是时，求点的坐标；
(3)点，的距离最小值为多少？

6 . 如图，为一条笔直公路，公路一侧有一村庄，公路上有两车站和，其中，为方便村民重新建设车站（点在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．

(1)是不是从村庄到江边的最短路线？并说明理由；
(2)求原来的路线的长．

7 . 如图，和都是等腰直角三角形，的顶点D在的斜边上，，连接．

(1)求证：；
(2)若时，求的长；
(3)点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．

8 . （1）如图①，四个小矩形拼成一个大矩形，点P在线段上，试判断矩形与矩形面积的大小关系，并简单说明理由；
（2）如图②，矩形的顶点P在直角三角形的斜边上，若，利用第（1）小题的探究方法和结论，求矩形的面积．
（3）如图③，在中，P是斜边上一动点，作，交于点G，作，交于点F，若，求的最小值．