1 . 如图，，均为等腰直角三角形，，，，H为的中点，连接．

(1)尺规作图：求作点F，使得，，点F在下方；
(2)在（1）的条件下，求证：E，H，F三点共线．

2 . 我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具-三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆O的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等，与垂直与点B，足够长．
   
使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点E，点A落在边上，半圆O与另一边恰好相切，则，就把三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，，垂足为点B，　                 　．
求证：　                 　．

3 . 尺规作图并完成证明：
如图，点C是上一点，，，．

(1)尺规作图：过点C作的垂线，交于点F；
(2)证明：．
证明：∵，∴ ① ．
∴
在和中，
，
∴．
∴ ③ ．
又∵，
∴（ ④ ）．

4 . 如图，是的内接三角形，，D为的弧上一点，延长至点E，使．

(1)求证：；
(2)若，试说明、与之间是否存在某种确定的等量关系？请画图（非尺规作图），写出你的结论并证明．
(3)若，则_________．

6 . 尺规作图：已知，在Rt△ABC中，，．在上求作点，使得点到的距离等于D到边AC距离的倍．

7 . 以下图形中，根据尺规作图痕迹，不能判断射线平分的是（       ）

A．①

B．②

C．③

D．④

8 . 我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家正明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具—“三分角器”．图1是它的示意图，其中如与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，，垂足为点B，半圆O与EN相切于点F，       ．
求证：EB，EO是∠MEN三等分线．

10 . 如图，锐角ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D
（1）尺规作图：作AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DE，DF；
（2）证明（1）中的四边形AEDF是菱形．