1 . 如图1，在中，D，E分别是边上的点．对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
I．若D是的中点，，则E是的中点；
II．若，，则D，E分别是的中点；
III．若D是的中点，，则E是的中点．

   

(1)小明通过对命题I的思考，发现命题I是假命题．
他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题I条件的点E，从而直观判断E不一定是的中点．
小明尺规作图的方法步骤如下：
①在图2中，作边的垂直平分线，交于点M；
②在图2中，以点D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC交与点E和；
请你在图2中完成以上作图．
(2)小明通过对命题II和命题III的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明．

4 . 综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片．
   
(1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图1放置，三角尺的边分别与四边形的边交于P，Q两点，经测量得，．小明将绕点D顺时针旋转，此时点C与点A重合，点Q的对应点为，通过推理小明得出了．
根据以上信息，请填空：
①________；
②线段之间的数量关系为________．
(2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图2中的形状，若，，，P，Q分别在上，且，线段之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明．
(3)【拓展应用】如图3，已知，，．小明以点D为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线分别交射线于点M，N，当点M恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长．

10 . 如图，点D是△ABC外一点，连接BD、 AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC=AD；②∠ABC=∠BAD；③AC= BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知：                ，                
求证：