1 . 如图，和都是等腰直角三角形，点D在边上，．

(1)求证：；
(2)探索的数量关系，并证明；
(3)若平分，且，求的面积．

2 . 在中，，，点D是中点，点E是线段上一点，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，当点E与点D重合时，线段，交于点G，求证：点G是的中点；
(2)如图2，当点E在线段上时（不与点B，D重合），若点H是的中点，作射线交于点M，补全图形，直接写出的大小，并证明．

3 . 如图1，在中，，，点D是的中点，是内的一条射线，点E，F都是上的点，已知且，连接，．

(1)求证：；
(2)设与交于点O，求证：；
(3)如图2，当射线在外部时，其他条件不变，探索，和之间的数量关系，并加以证明．

4 . 如图，已知D是内一点，．求证：．小红的解答如下：

证明：在和中，
∵，
∴．……第一步
∴．……第二步​
(1)小红的证明过程从第           步开始出现错误；
(2)请写出你认为正确的证明过程．

6 . 如图1，在等腰直角三角形中，，，点D在边上，连接，，，连接，．

(1)求证：；
(2)点A关于直线的对称点为M，连接，．
①补全图形并证明；
②试探究，当D，E，M三点恰好共线时，的度数为 　　．

7 . 阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图①，和都是等边三角形，点在上．
求证：以、、为边的三角形是钝角三角形．
【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点在上．
①猜想：以、、为边的三角形的形状是________；
②当时，直接写出正方形的面积．

8 . 如图，在正方形中，E、F分别为，上的点，作于M．
   
(1)求证：；
(2)在上截取，连接，G为中点，连接，．
①依题意补全图形，
②用等式表示线段和的数量关系，并证明．

9 . 如图1，在中，，点E在边上，D为边上一点，G在的延长线上，连接，，，若，，．

(1)求证：．
(2)请找出图中与相等的线段，并证明．
(3)如图2，当时，求的值．