1 . 已知，正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点M、N，当绕点A旋转到时（如图1），求证

   

(1)下面是小东同学的证明过程，请补充完整．
证明：延长至点P，使，连接，如图1
(2)当旋转到时（如图2），线段、和之间的数量关系      ，若正方形的周长为4，则的周长是      ：
(3)当绕点A旋转到如图3的位置时，，线段、和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．

2 . 在中，，，是中线，一个以点D为顶点的角绕点D旋转，使角的两边分别与的延长线相交，交点分别为点E、F，与交于点M，与交于点N．

(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；
(3)若，，求的长．

3 . 在中，，过点作射线，使（点与点在直线的异侧），点是射线上一个动点（不与点重合），点在线段上，且．
   
(1)如图1，当点与点重合时，在图中画出线段，若，则的长为______（用含的式子表示）；
(2)如图2，当点与点不重合时，连接．
①求证：；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

4 . 如图，为等边三角形，D为边上一点，连接

(1)如图1，将绕点A顺时针旋转得到，连接，，求证：；
(2)如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接交于点，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，以为斜边向边右侧作，连接，N为的中点，连接．若，，直接写出的最小值．

7 . 如图1，若四边形、四边形都是正方形，显然图中有．

(1)当正方形绕D旋转到如图2的位置时，是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(2)当正方形绕D旋转到如图3的位置时，延长交于H，交于M．

① 求证：；

②当时，求的长．

8 . 问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学杨老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得；再连接，把，，集中在中；利用上述方法求出的取值范围是．

(1)问题：请利用图1说明与的位置关系；
感悟：数学杨老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
(2)类比分析：如图2，和都是等腰直角三角形，，是的中线，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
(3)学以致用：如图3，已知为直角三角形，，D为斜边的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边与的延长线交于点F，另一直角边与边交于点E，若，，求出的长是多少？

9 . 【问题情境】
（1）如图1，已知是正方形，是对角线上一点，求证：；请你完成证明．

【深入探究】
（2）如图2，在正方形中，点是对角线上一点，，，垂足分别为．，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想．

  【拓展应用】
（3）如图3，在正方形中，若，是上一点，过点作于，于．则最小值为_______．

10 . 阅读下面的例题及点拨，并解决问题：
如图①，在等边中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是的外角的平分线上一点，且．求证：．

(1)点拨：如图②，作，与的延长线相交于点E，得等边，连接EM．易证：，请完成剩余证明过程：
(2)拓展：如图③，在正方形中，是边上一点（不含端点，），是正方形的外角的平分线上一点，且，求证：．
(3)思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明、（2）中证明是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明．