1 . 问题初探：（1）一天杨老师给同学们这样一个几何问题：

如图1，和都是等边三角形，点在上．
求证：以、、为边的三角形是钝角三角形．
小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
类比分析：（2）杨老师发现，小明通过构造全等三角形，将边和转移，使、、在一个三角形中，为了帮助学生更好的利用已知边角的数量关系构造全等三角形，杨老师将和换成两个等腰直角三角形，并隐藏了一部分图形，得到了下面的图形，如图3，并提出了下面的问题，请解答．
已知：，，为AC边上的一点，试判断、、之间的数量关系．
学以致用：（3）如图4．已知四边形是正方形．点在上，，，试求出正方形的面积．

2 . 如图1，在中，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点，连接，．

(1)图1中，求证：；
(2)当绕点旋转到如图2所示的位置时，
①是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；
②若，和的面积分别是，，的面积为，求的值．

3 . 【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为______度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在弧上（点P不与点A、C重合），连接、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连接BE．
∵四边形ABCP是的内接四边形，∴，
∴，∴，
∵是等边三角形，∴，
∴．
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接、、，若，则的值为多少？

4 . 在中，，，是中线，一个以点D为顶点的角绕点D旋转，使角的两边分别与的延长线相交，交点分别为点E、F，与交于点M，与交于点N．

(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；
(3)若，，求的长．

6 . 已知，正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点M、N，当绕点A旋转到时（如图1），求证

   

(1)下面是小东同学的证明过程，请补充完整．
证明：延长至点P，使，连接，如图1
(2)当旋转到时（如图2），线段、和之间的数量关系      ，若正方形的周长为4，则的周长是      ：
(3)当绕点A旋转到如图3的位置时，，线段、和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．

7 . 已知：中，，点为上一点，连接并延长至点，连接、，使．

(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当时，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论：____________________；
(3)如图3，在（2）的条件下，在上截取，连接，点在上，连接，且，，，求的长．

8 . 如图1，若四边形、四边形都是正方形，显然图中有．

(1)当正方形绕D旋转到如图2的位置时，是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(2)当正方形绕D旋转到如图3的位置时，延长交于H，交于M．

① 求证：；

②当时，求的长．

9 . 在中，，过点作射线，使（点与点在直线的异侧），点是射线上一个动点（不与点重合），点在线段上，且．
   
(1)如图1，当点与点重合时，在图中画出线段，若，则的长为______（用含的式子表示）；
(2)如图2，当点与点不重合时，连接．
①求证：；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

10 . 如图，为等边三角形，D为边上一点，连接

(1)如图1，将绕点A顺时针旋转得到，连接，，求证：；
(2)如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接交于点，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，以为斜边向边右侧作，连接，N为的中点，连接．若，，直接写出的最小值．