1 . 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过猜想探究图形的变化规律，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．如图1，在等边
中，点
，
分别在边
，
上，
，连接
，
，点
，
，
分别是，，
的中点．
(1)观察猜想
图1中
的形状是______；
(2)探究证明
把
绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，的形状是否发生改变？并说明理由．
中，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别是，，的中点．(1)观察猜想
图1中
的形状是______；(2)探究证明
把
绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，的形状是否发生改变？并说明理由．
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2 . 如图，在中，
，
，点D是线段上的动点，将线段
绕点A顺时针旋转
至
，连接
．已知
，设
为
，为
．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）
(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
(3)结合画出的函数图象，解决问题：线段的长度的最小值约为 
；若
，则的长度x的取值范围是 ．
中，，，点D是线段上的动点，将线段绕点A顺时针旋转至，连接．已知，设为，为．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
 | 0 |  |  |  |  |  |  |
 |  |  |  | |  | |
(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
(3)结合画出的函数图象，解决问题：线段
的长度的最小值约为 ；若，则的长度x的取值范围是 ．
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3 . 如图1，图2，图3⋯，M、N分别是
的内接正三角形
，正方形
，正五边形
，…的边
上的点，且
，连接
，图1中
，图2中
，图3中
…，根据这样的规律，图n中
的度数是______ ．
的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是
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4 . 数学思想方法是解决问题的重要途径．在探究性学习中，我们可以采用从特殊到一般的数学思想，先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的一般规律．如图，在中，D为边上一动点，在线段右侧作线段
，使得
，且
．
【特殊情况】（1）若
，点E在外，连接交于点F．
①如图1，
，
，猜想线段与线段
有怎样的数量关系，说明理由；
②如图2，若
，猜想线段与线段有怎样的数量关系，说明理由；
【拓展运用】（2）如图3，若点E在内，与交于点F，
，请用含k的式子表示
的值．
中，D为边上一动点，在线段右侧作线段，使得，且．【特殊情况】（1）若
，点E在外，连接交于点F．①如图1，
，，猜想线段与线段有怎样的数量关系，说明理由；②如图2，若
，猜想线段与线段有怎样的数量关系，说明理由；【拓展运用】（2）如图3，若点E在
内，与交于点F，，请用含k的式子表示的值．
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真题
解题方法
5 . 综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．和
中，
，
，
，连接，
，延长交于点．则与的数量关系：______，
______
；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，
，连接，，延长，
交于点．请猜想与的数量关系及
的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，
，连接，，且点
，，
在一条直线上，过点
作
，垂足为点．则
，，
之间的数量关系：______；
(4)实践应用：正方形中，
，若平面内存在点满足
，
，则
______．
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；(2)类比探究：如图2，在
和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，
和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；(4)实践应用：正方形
中，，若平面内存在点满足，，则______．
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2023-06-28更新
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1221次组卷
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11卷引用：2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题
2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题（已下线）专题17 几何压轴题-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（全国通用）湖北省荆楚初中名校联盟2023-2024学年九年级上学期期中数学试题湖北省襄阳市八校2023-2024学年九年级上学期联考数学试题（已下线）专题6 类比思想（已下线）数学（山西卷）-学易金卷：2024年中考第一次模拟考试江西省吉安市十校联盟2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（已下线）突破05 平移、旋转、折叠等操作探究问题（4类重点考向）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）（已下线）专题10 三角形压轴题综合-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）2024年河南省驻马店市确山县中考二模数学试题2023年江苏省盐城市初中学业数学水平模拟预测题
6 . 综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在和中，
，，连接
，延长交于点D．则与的数量关系：______， ______°；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，连接，延长
交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．则
之间的数量关系：______；
(4)实践应用：正方形中，
，若平面内存在点P满足，，则______．
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在
和中，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：______， ______°；(2)类比探究：如图2，在
和中，，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，
和均为等腰直角三角形，，连接，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．则之间的数量关系：______；(4)实践应用：正方形
中，，若平面内存在点P满足，，则______．
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7 . 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．和中，，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：______，______；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．请猜想之间的数量关系并说明理由．
和中，，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：______，______；(2)类比探究：如图2，在
和中，，，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，
和均为等腰直角三角形，，连接，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．请猜想之间的数量关系并说明理由．
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2024-01-19更新
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100次组卷
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5卷引用：2024年中考数学模拟预测题（六）
2024年中考数学模拟预测题（六）江西省南昌市二十八中教育集团青云学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（已下线）寒假作业13 全等三角形的基本模型（14道经典题型+4道中考真题）-【寒假分层作业】2024年八年级数学寒假培优练（人教版）广东省汕头市龙湖区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题江苏省南通市启东市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
名校
8 . 【阅读材料】小高同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小高把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
【材料理解】
(1)如图1，在“手拉手”图形中，小高发现若
，，，则
，请证明小高的发现．
【深入探究】
(2)如图2，
，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；
【延伸应用】
(3)①如图3，在四边形中，
，
，
，
与
的数量关系为：________（直接写出答案，不需要说明理由）；
②如图4，在四边形中，
，若
，
，则的长为________（直接写出答案，不需要说明理由）．
【材料理解】
(1)如图1，在“手拉手”图形中，小高发现若
，，，则，请证明小高的发现．【深入探究】
(2)如图2，
，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；【延伸应用】
(3)①如图3，在四边形
中，，，，与的数量关系为：________（直接写出答案，不需要说明理由）；②如图4，在四边形
中，，若，，则的长为________（直接写出答案，不需要说明理由）．
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2023-01-09更新
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491次组卷
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3卷引用：山东省淄博市张店区张店区第九中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题
19-20八年级上·重庆渝北·期末
名校
9 . 如图（1），已知，为
的角平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的角平分线上两点，连接，，，
；如图（3），已知，，，为的角平分线上三点，连接，，，，，；
，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（ ）
，为的角平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的角平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的角平分线上三点，连接，，，，，；，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2022-11-09更新
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64次组卷
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9卷引用：【万唯原创】2021年河北试题研究-练册-第二部分专题一
（已下线）【万唯原创】2021年河北试题研究-练册-第二部分专题一重庆市渝北区2019-2020学年八年级上学期期末数学试题河北省石家庄市辛集市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题河北省石家庄市第四十二中学2021-2022学年八年级上学期学情反馈数学试题山东省济宁市级旅游度假区石桥镇中学2021-2022学年七年级上学期期中数学试题（已下线）专题16.3 期末复习之选填压轴题十四大题型总结-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（人教版）（已下线）专题7.3 期末复习之选填压轴题十五大题型总结-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）（已下线）专题6.3 期末复习之选填压轴题二十个题型总结2（已下线）专题16.3 期末复习之选填压轴题十三大题型总结-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）
2023九年级·江苏·专题练习
10 . [阅读与思考]如图①，在正三角形 中，点 ， 是，上的点，且
，则
，
；
如图②，在正方形 中，点，是，上的点，且，则
，
；
如图③，在正五边形 中，点，是，上的点，且，则
，
；
[理解与运用]在正六边形
中，点，是，上的点，且，则
，
；
在正十边形
中，点，是，上的点，且，则
，
；
[归纳与总结]根据以上规律，在正
边形
中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是
，
上的点，且
，
与
相交于
；也会有类似的结论，你的结论是 ．
中，点 ， 是，上的点，且 ，则， ；如图②，在正方形
中，点，是，上的点，且，则， ；如图③，在正五边形
中，点，是，上的点，且，则， ；[理解与运用]在正六边形
中，点，是，上的点，且，则， ；在正十边形
中，点，是，上的点，且，则， ；[归纳与总结]根据以上规律，在正
边形 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是 ，上的点，且， 与 相交于；也会有类似的结论，你的结论是 ．
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