1 . 问题提出
（1）如图1，为⊙O的弦，，点是⊙O上的一个动点，且，则的最大值为          ；

问题探究
（2）如图2，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，求的最大值；

问题解决
（3）如图3，老李家有一正方形花园，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形中，米，边上有两个点、，使得，连接、．在与区域种植花卉，是花园内一条小路，与交汇于点，在点处设计一个凉亭．连接，交于点，在处设计一口水井．老李想在与之间铺设条笔直的水管，为了节约成本，要求的长度尽可能的小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．

2 . 如图，具有共同顶点A，且．
   
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，已知．连接，若，求的最大值；
(3)如图3，已知，点C在上．若，连接，求的最小值．

5 . 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．
试判断：的形状为________．

   

(2)深入探究
小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，．
探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积．
探究二：连接，取的中点，连接，如图③．
求线段长度的最大值和最小值．

   

8 . 取一张矩形纸片，E为边上一动点，将沿直线折叠得．
   

(1)如图1，连接，，，当时，试判断的形状；
(2)如图2，连接，当，的最大值与最小值的和为20时，求线段的值；
(3)如图3，当点落在边上，分别延长，交于点，将绕点逆时针旋转得，分别连接，，取中点连接CH，试探究线段与CH的数量关系．