1 . （1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示）
（2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________；
②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________；
（3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________．
   

2 . 如图，点D为等边的边上的一个动点，，以为边在的右侧作等边，与交于点F，则下列结论正确的是_____________．（填写序号）①；②；③的面积最大值为；④线段的最小值为．
   

4 . 在等边中，将扇形按图1摆放，使扇形的半径、分别与、重合，，，固定等边不动，让扇形绕点O逆时针旋转，线段也随之变化，（如图2）设旋转角为．

(1)当时，旋转角 _________度．
(2)当A、C、D三点共线时，求的长．
(3)P是线段上任意一点，在扇形的旋转过程中，请直接写出线段的最大值与最小值．

5 . 如图，四边形是菱形，其中，点在对角线上，点在射线上运动，连接，作，交直线于点．

(1)在线段上取一点，使，求证：；
(2)图中，．
①点在线段上，求周长的最大值和最小值；
②记点关于直线的轴对称点为点．若点不能落在的内部（不含边界），求的取值范围．

6 . 如图，在正方形中，，M是边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于所在的直线对称，连接，延长到点F，使得，连接．

(1)判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)当点M在边上运动时，的面积是否发生变化？如果变化，求出面积的最大值或最小值；如果不变，求出的面积；
(3)当点M在边上运动到某一位置时，恰好为等腰三角形，求此时的值．

8 . 问题探究：

(1)如图（1），在中，，，点为边上的一动点，以为边在右侧作，且，，连．若，求的长；
(2)如图（2），边长为4的等边，点为边上的一动点，以为边在右侧作，连接，则__________；__________；的周长最小值是__________．
问题解决：
(3)如图3，四边形中，，，，，点分别为边，上的动点，且，是否存在点，使得四边形面积最大且的周长最小？若存在，求出四边形面积最大值和的周长最小值；若不存在，请说明理由．

9 . 如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A，C重合），连接，过点A作直线的垂线段，垂足为点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．

(1)求证：；
(2)连接，延长交于点F，若的边长为2；
①求的最小值；
②求的最大值．