1 . 已知，和都是等腰直角三角形，是的中点，连接．

(1)如图1，点在同一条直线上，直接写出与的位置关系为_______；
(2)将图1中的绕点逆时针旋转，当落在图2所示的位置时，点恰好在同一条直线上．

①在图2中，按要求补全图形，并证明；

②连接，交于点．判断线段与的数量关系，并证明．

(3)将绕点逆时针旋转，连接．当时，在旋转过程中，的最大值为_______．

2 . 阅读下面材料：
我遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点E、F分别为、边上的点，，连接，求证：．我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点A顺时针旋转得到（如图2），此时即是．

请回答：在图2中，的度数是           ．
参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形中，，，，E是上一点，若，，求的长度．
（2）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当           时，线段有最大值，并求出的最大值．

3 . 如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．

   

(1)观察猜想：
图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；
(2)探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

4 . 如图，在△ABC中，，，点在边上，，分别为，的中点，连接．过点作的垂线，与，分别交于，两点．连接，交于点．有以下判断：①；②，且； ③当时，的面积为9；④的最大值为．其中正确的是（　　）

A．①③

B．①③④

C．①②④

D．①②③④

7 . 如图，正六边形ABCDEF的边长为3，G，H分别是CD，DE上两个动点，且CG＝DH，BG，CH交于点P，点Q是AB的中点，连接PQ，则PQ长度的最大值为______．

8 . 如图，在中，，，以为边在的另一侧作，点D为线段（不含端点）上一点，在射线上截取，连接、、，与交于点F，若，的最大值是______．

9 . 如图所示，已知，，，点D和点E分别是和边上的动点，满足，连接，点F是的中点，则的最大值为 _________________．

10 . 在中，，，为平面内的一点．

(1)如图1，当点在边上时，，且，求的长；
(2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：；
(3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值．