1 . 探究性学习
(1)【问题初探】
在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，．点D在外，连接，且．过A作于点E．求证：．

   

①如图，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．

   

②如图，小龙同学从于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作交延长线于点G，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．

   

(2)【类比分析】
张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答．
如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中是边上的中线，连接交与点F．求证：．

   

(3)【学以致用】
如图，在中，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若， ，求的面积．

   

2 . 如图，四边形为正方形，点E为上的定点，点F是射线上的动点，连接．将点F绕点A逆时针旋转得到点H，连接，过点分别作和的垂线交于点G，射线与射线交于点P．

(1)求证：四边形为正方形；
(2)点F在运动过程中，判断点P的位置是否发生变化？并说明理由；
(3)连接，探究线段的数量关系，并证明．

5 . 如图，点在线段上，，，，交于点．

(1)尺规作图：过点作线段的垂线交于点．基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论)
(2)求证．
证明：
　　
在和中，


，　　，
．


　　
　　
．

6 . 如图，四边形是菱形，G是延长线上一点，连接，分别交，于点E，F，连接．

   

(1)求证：．
(2)当时，判断与有何数量关系．并证明你的结论．

7 . 已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．

(1)求证：；
(2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明．

8 . 在矩形中，E是延长线上一点，连接．

(1)如图1，F、G分别为、的中点，连接、、．
①求证：；
②探究并猜想线段和的数量关系为______，并证明你的结论；
(2)如图2，若，过点C作于点H，若，，求线段的长度．

9 . 如图，已知是弦上一点．

(1)用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段的垂直平分线，分别交于点，交于点，连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接，，．
(2)求证：．
证明：∵是的垂直平分线，
∴ ① ，
∴，
∵，
∴，
∴，（其依据是 ② ）
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，（其依据是 ③ ）
∵，
∴ ④ ，
∵，
∴，
∴．

10 . 如图，在菱形中，是对角线上的两点，且．

(1)求证：；
(2)证明四边形是菱形．