1 . 在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：已知：是等边三角形，点D是内一点，连接，将线段绕C逆时针旋转得到线段，连接，，，并延长交于点F．当点D在如图所示的位置时：

(1)观察填空：与全等的三角形是______；
(2)利用（1）中的结论，求的度数
(3)判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．

2 . 课堂上，老师提出了这样一个问题：

如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．

4 . 阅读下面材料，完成相应的任务：

全等四边形 能够完全重合的两个四边形叫做全等四边形．由此可知，全等四边形的对应边相等、对应角相等；反之，四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在两个四边形中，我们把“一条边对应相等”或“一个角对应相等”称为一个条件．根据探究三角形全等条件的经验容易发现，满足1个、2个、3个、4个条件时，两个四边形不一定全等． 在探究“满足5个条件的四边形和四边形是否全等”时，智慧小组的同学提出如下两个命题： ①若，，，，，则四边形四边形； ②若，，，，，则四边形四边形

（1）小明在研究命题①时，在图1的正方形网格中画出两个符合条件的四边形．由此判断命题①是____命题（填“真”或“假”）；

（2）小彬经过探究发现命题②是真命题，请你结合图2证明这一命题；
（3）小颖经过探究又提出了一个新的命题：“若，，，______，_____，则四边形四边形，请在横线上填写两个关于“角”的条件，使该命题为真命题．

5 . 【定义学习】
定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”．
【判断尝试】
（1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______ ；（填序号）
（2）如图，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是______ ；
【操作探究】
如图，在菱形中，，，于点，请在边上找一点，使得以点、、、组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是______ ；
【拓展延伸】
如图，在正方形中，，点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动保持，再分别过点、作、的垂线交于点，连接、．
（1）试说明：四边形为对直四边形．
（2）在此运动过程中，动点的运动路径长是______ ；
【实践应用】
某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，其中米，米，，现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是______ ．
   

7 . 如图，在四边形中，，点为对角线上的两点，且，．连接．
   
(1)求证：；
(2)从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形的形状，并证明你的结论．选择的条件：______（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
①，②．

9 . 如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点．

(1)求证：；
(2)连接，，已知_______（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：．

10 . 如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点．

(1)求证：；
(2)连接，已知＿＿＿＿（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解容，按第一个解答计分）