1 . 请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹：

(1)如图1，与是圆内接三角形，，，画出圆的一条直径．
(2)如图2，，是圆的两条弦，且不相互平行，画出圆的一条直径．

3 . 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．

(1)在图①中画出的中线．
(2)在图②的边上找到一点，使．
(3)在图③中作高．

4 . 如图1，在平面直角坐标系中，，是反比例函数图象上的两点，连接，线段分别与坐标轴交于点、点．

(1)求证：；
(2)请仅用无刻度的直尺在图2中画出一条与相等的线段（保留作图痕迹）．

5 . 问题：如图1，在中，，点是射线上任意一点，是等边三角形，且点在的内部，连接．探究线段与之间的数量关系．

请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
当点与点重合时(如图2)，请你补全图形．由的度数为_______________，点落在_______________，容易得出与之间的数量关系为_______________

当是的平分线时，判断与之间的数量关系并证明
当点在如图3的位置时，请你画出图形，研究三点是否在以为圆心的同一个圆上，写出你的猜想并加以证明．

6 . 如图1，在Rt△GMN中，∠M＝90°，P为MN的中点
（1）将线段MP绕着点M逆时针旋转60°得到线段MQ，点P的对应点为Q，若点Q刚好落在GN上，
①在图1中画出示意图；
②试问：以线段MQ为直径的圆是否与GN相切？请说明理由；
（2）如图2，用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM＝∠PQN．（保留作图痕迹，不要求写作法）
   

7 . 如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到线段．

(1)尺规作图：求作线段，使为边绕点A逆时针旋转所得的．
(2)连结交边于点F．猜想并写出线段，的数量关系，请说明理由．

8 . 如图，已知直线l及直线l外一点P，按照如下步骤进行尺规作图：
①在直线l上取一点A，连接；
②分别以P、A为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于M、N两点，作直线，交直线l于点B；
③以O为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点Q，作直线．
   
根据上述尺规作图的步骤和痕迹，请回答下列问题：
(1)下列结论不一定成立的是（            ）
A．垂直平分       B．M是的中点       C．
(2)若，求的长．

9 . 如图，已知直线及直线外一点，按照如下步骤进行尺规作图：
   
①在直线上取一点，连接；
②分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，分别交于，两点，作直线，交于点，交直线于点；
③以点为圆心、长为半径画弧，交直线于另一点，作直线．
根据上述尺规作图的步骤和痕迹，请回答下列问题：
(1)下列结论不一定成立的是 （填序号）；
①；②；③；④
(2)若，，求的长．

10 . 我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具-三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆O的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等，与垂直与点B，足够长．
   
使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点E，点A落在边上，半圆O与另一边恰好相切，则，就把三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，，垂足为点B，　                 　．
求证：　                 　．