1 . 【问题背景】如图1，两条相等的线段，交于点O，，连接，，求证：．
证明：过点C作的平行线，过点B作的平行线，两平行线交于点E，连接．
，．
四边形为平行四边形，则__________，．
，
．
又，
为等边三角形，__________．
，即．

(1)请完成证明中的两个填空．
(2)【迁移应用】如图2，矩形中，，，点M在边上，点在边上，点O在上，过点O作的垂线，交于点F，交于点E．
①求出的值；
②求的最小值．
(3)【联系拓展】如图3，为等腰三角形，，过点A作的平行线l，点D在直线上，点A到的距离为2，求线段的最小值．

2 . 在正方形中，对角线交于点O，E，F是上的两点，连接，分别过点B，F作的垂线，，垂足分别为H，M．

(1)若，求证：；
(2)若，求证：；
(3)若F是的中点，探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．

3 . （1）【教材改编】如图1，四边形是正方形，点G、E分别是边、的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．
（2）【类比探究】如图2，四边形是正方形，点E是边上的任意一点，，且交正方形外角的平分线于点P．求证：．
（3）【知识迁移】在边上是否存在点M，使得四边形是平行四边形？若存在，请在图3画出图形并给予证明：若不存在，请说明理由．

4 . （1）如图1，等腰直角中，，线段经过点，过作于点，过作于．求证：．
（2）如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点．若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标；
（3）如图3，在中，，点（不与点重合）是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到（即），连接，试猜想的度数，并给出证明．

6 . 综合与实践．
积累经验
（1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，，，且于点D，于点E．求证：，只要证明，即可得到解决；
   
类比应用
（2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，点A的坐标为点C的坐标为，求点B的坐标．
拓展提升
（3）如图3，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B坐标为________．

7 . （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰和等腰，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点．
        

10 . 在等腰直角中，，P是线段上一点（与点B、C不重合），连接，延长至点Q，使得，过点Q作于点H，交于点M．

(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．