1 . 如图，已知中，．

   

(1)尺规作图：作的平分线交于点；（不写做法，保留作图痕迹）
(2)点在边上，连接，若，求证：．

2 . 如图，在中，，点D在边上．

(1)求作：点E．使四边形是平行四边形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)以（1）中的边为直径作交的延长线于点F，若．求证：．

3 . 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，C是弦上一点．
   
(1)根据提示完成尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)；
①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点D，垂足为E；
②以点D为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点F(F，A两点不重合)，连接．
(2)引理的结论为：．
证明：连接，，，．
∴为的垂直平分线，
∴，
∴．
又∵四边形为圆的内接四边形
∴______．（                 ）．
又∵，
∴．
又∵，
∴__________，
∴，（       ）．
∴，
∴．

4 . 在学习等腰直角三角形的过程中，小邓同学遇到了一个问题：在等腰直角中，，点D为线段上任意一点，试说明，之间的数量关系．小邓的思路是：首先过点C作的垂线，再构造与全等的三角形，从而转化，，使问题得到解决．请根据小邓的思路完成下面的作图与填空：

尺规作图：过点C作的垂线，在上方的直线上截取，连接（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）．

证明：∵为等腰直角三角形，，，

∴，

∵，

∴            ，

∴

在和中，

，

∴，

∴，          ，

∵，

∴，

∴，

在中，，，

在中，，             ，

又∵，

∴，

∴．

5 . 如图，，平分，交于点．
   
(1)动手操作：作的角平分线尺规作图，保留作图痕迹，交于点，交于点，连接；
(2)探究求证：四边形是菱形；
(3)应用练习：若，，求菱形的周长．

6 . 如图，在中，是的一个外角．根据要求尺规作图，在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法），并回答相关问题．

(1)作的平分线；
(2)作线段的垂直平分线，与交于点F，与边交于点E；
(3)判断线段是否也被垂直平分，并说明理由．

7 . 如图，在中，．

(1)延长至点N，使得；过点N作，与的延长线交于点D（要求：尺规作图，不写作法，要保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，延长至点M，使得，求证三点共线．

9 . 如图，在中，点是边上一点，连接．

(1)尺规作图：作射线，使得，且射线交的延长线于点；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，若点为边中点，求证：四边形为平行四边形．

10 . 如图，在中，，平分交于点D．

(1)尺规作图：过点D作，垂足为点E（保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．