1 . 轴对称变换是几何证明中重要的图形变换之一，即寻找对称轴，将对称轴的一侧图形进行翻折，来构造满足条件的几何辅助线．例：在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，若AC+CD=BD，则∠B与∠C满足什么关系？分析：将△ADC沿直线AD翻折，得到△ADE，通过相关定理即可得到结论．

(1)请猜想∠B与∠C的关系，并说明理由；
(2)如图3，A、D为线段BC同侧两点，∠BAC=∠BDC=60°，∠ACB+∠ACD=90°，求证：AB=AC+CD．

2 . 问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是的中点，点A在上，且．求证：．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而与所在的两个三角形不全等．因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形．以下是两位同学添加辅助线的方法．
第一种辅助线做法：如图②，延长到点F，使，连接；
第二种辅助线做法：如图③，作于点G，交延长线于点F.

(1)请你任意选择其中一种对原题进行证明：
方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题．
(2)方法运用：如图④，是的中线，与交于点F且．求证：．

3 . 已知：△是等腰直角三角形．

(1)若且a、b满足．则___________，___________；
(2)如图1，在（1）的条件下，过点A作直线轴交y轴于点E，过点C作于点D．
①求证：△△；
②直接写出A点坐标；
(3)如图2，过点A和点C分别作x轴和y轴的的平行线相交于点D，若，试问的比值是否不变，若不变，求出比值；若变化，请说明理由．

4 . 阅读并完成相应的任务．
如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．

课题	测凉亭与游艇之间的距离
测量工具	皮尺等
测量方案示意图（不完整）
测量步骤	①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处．
测量数据	米，米，米

(1)任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整．
(2)任务二：①凉亭与游艇之间的距离是________米．
②请你说明小明方案正确的理由．

5 . 如（图1），矩形ABCD中，过对角线AC的中点O画分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．
　　
(1)【证明体验】求证：四边形AECF是菱形．
(2)【基础巩固】若AB＝8，BC＝6，求菱形AECF的边长．
(3)【拓展延伸】如（图2），在对角线AC上取点G，H，使得四边形EHFG是正方形，若正方形EHFG的边长为3，且，求矩形ABCD的面积．

6 . 如图，四边形ABCD为正方形，E为AB的中点，作交CD于F，连接AF，BF，作交AC的延长线于G，AC与EF交于点O．

(1)设，用含的代数式表示∠G的度数．
(2)求证：．
(3)如图，若AFG的面积为15，求正方形ABCD的边长．

7 . 如图，线段，D是线段AC上一点，连接DE交AB于点F，若AF＝BF，求证：

(1)DF=EF；
(2)连接AE，BD，若△ABC是等边三角形∠E=30°， 求证：四边形ADBE是菱形．

8 . 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交∠ACB的平分线CE于点O．

(1)求证：．
(2)如图1，若∠A=60°，请直接写出BE，CD，BC的数量关系．
(3)如图2，∠A=90°，F是ED的中点，连接FO．
①求证：BC−BE−CD=2OF．
②延长FO交BC于点G，若OF=2，△DEO的面积为10，直接写出OG的长．

9 . 如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（-2，5），则线段DE的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

10 . 已知：在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在直线CD的右侧，且满足∠PCE＝90°，CP＝CE，连接DE．

(1)依据题意，补全图形；
(2)计算∠CDE的度数；
(3)连接EP并延长，分别与AB边和CD边相交于点M和点N，试判断线段PM与NE之间的数量关系，并说明理由．