1 . 如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

(1)【探究发现】
第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；
第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接．根据以上操作，当点M在上时，____________；
(2)【类比应用】
如图2，小李将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数；
(3)【拓展延伸】
如图3，在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点重合），当时，请直接写出的长．

2 . 【综合与实践】
课本64页安排这样的数学活动：折纸作，，的角：如果我们身旁没有量角器或者三角尺，又需要做，，等大小的角，可以采用下面的方法：
动手操作：如图1，（1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；（2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折叠，同时得到线段BN．
观察猜想：图中等于的角是：______（写出一个角即可）；等于的角是：______（写出一个角即可）
推理验证：任选以上一个猜想结论给予证明．
拓展延伸：将矩形纸片换成正方形纸片，按以上步骤折叠，并延长交于点Q，连接得到图2，若，直接写出的长．
   

3 . 如图1，中，，，的外角平分线交于点A，过点A分别作的延长线于B，的延长线于D．

(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的长；
(3)如图2，在中，，高，，求的长度．

5 . 如图，在菱形中，，点，分别在，边上，且，与交于点，若，，则四边形的面积为______．

6 . 如图，中，、的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，，．则下列结论中正确的个数（　　）
①BP平分；②；③；③．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

7 . 如图，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，延长BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，点P在BN上，，则下列结论中正确的个数为（       ）
①AD平分∠MAC；②；③若，则，④．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

8 . 如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（       ）

A．180°

B．200°

C．210°

D．240°

9 . 如图，在中，，，，D，E分别是AB，BC边上的动点，以BD为直径的交BC于点F．

（1）当时，求证：；
（2）当是等腰三角形且是直角三角形时，求AD的长．

10 . 将两个全等的直角三角形△ABC和△DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求证：AF+EF＝DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其它条件不变，如图②．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由；
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°<α<60°，其它条件不变，请在图③中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立．