1 . 如图,中,,平分,于.求证: (1);
(2)直线是线段的垂直平分线.
(2)直线是线段的垂直平分线.
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名校
2 . 如图,,以点A为圆心,小于长为半径作弧,分别交于E,F两点,再分别以E,F为圆心,大于长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线,交于点M.(1)若,求的度数;
(2)若,垂足为N,延长交于点O,连接,求证:.
(2)若,垂足为N,延长交于点O,连接,求证:.
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3 . 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容.
(1)请根据教材提示,结合图1,写出完整的证明过程.
(2)【性质应用】如图2,在中,对角线相交于点O,过点O且与边分别相交于点E,F.求证:.(3)【拓展提升】在【性质应用】的条件下,连接.若,的周长是9,则的周长是______.
平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分.我们可以用演绎推理证明这个结论. 已知:如图1,的对角线和相交于点. 求证:,. |
(2)【性质应用】如图2,在中,对角线相交于点O,过点O且与边分别相交于点E,F.求证:.(3)【拓展提升】在【性质应用】的条件下,连接.若,的周长是9,则的周长是______.
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4 . 鹿鸣学堂兴趣小组进行一次科学实验探究活动,图1是由七根连杆链接而成的机械装置,图2是其示意图.已知O,P两点固定,连杆cm,cm,O、P两点间距与长度相等.当绕点O转动时,点A,B,C的位置随之改变,点B恰好在线段上来回运动.当点B运动至点M或N时,点A,C重合,点P,Q,A,B在同一直线上(如图3),此时点P到的距离为144cm.(1)直接判断与是否一定垂直: (填“是”或“不是”);
(2)求O、P两点间的距离;
(3)当点P,O,A在同一直线上时,求点Q到的距离.
(2)求O、P两点间的距离;
(3)当点P,O,A在同一直线上时,求点Q到的距离.
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5 . 一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中,如果只有两种大小不同的长度,那么称这个四边形为“精致四边形”.如正方形的四条边都相等,两条对角线相等,且边长与对角线长度不等,所以正方形是一个“精致四边形”.(1)如图所示的四边形是一个“精致四边形”,其中,.试写出该“精致四边形”的两条性质(,除外);
(2)如果一个菱形(除正方形外)是“精致四边形”,试画出它的大致图形,并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值;
(3)如果一个梯形是“精致四边形”,试画出它的大致图形,指出两种长度的线段各是哪几条,并求出它的各内角度数.
(2)如果一个菱形(除正方形外)是“精致四边形”,试画出它的大致图形,并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值;
(3)如果一个梯形是“精致四边形”,试画出它的大致图形,指出两种长度的线段各是哪几条,并求出它的各内角度数.
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6 . 两组邻边分别相等的四边形是筝形.如图,在筝形中,,,,相交于点.(1)求证:垂直平分.
(2)如图2过点作,,垂足分别为点,,求证:.
(3)如图3,在筝形中,过点A作交于点.若,,求线段的长.
(4)若,,则筝形的面积为________.(用含,的代数式表示)
(2)如图2过点作,,垂足分别为点,,求证:.
(3)如图3,在筝形中,过点A作交于点.若,,求线段的长.
(4)若,,则筝形的面积为________.(用含,的代数式表示)
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7 . 如图,是等边三角形外的一点,,,点,分别在,上.(1)求证:是的垂直平分线.
(2)若平分,写出,,三者之间的数量关系,并证明你的结论.
(2)若平分,写出,,三者之间的数量关系,并证明你的结论.
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8 . 如图1,将长方形纸片的一边沿着向下折叠,使点落在边上的点处.(1)试判断线段与的关系,并说明理由;
(2)若,,求的长;
(3)如图2,取的中点,连接,,若,求证:.
(2)若,,求的长;
(3)如图2,取的中点,连接,,若,求证:.
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名校
9 . 如图,在中,,是延长线上一点,是上的一点,且点在的垂直平分线上,连接交于点,求证:点在的垂直平分线上.
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名校
10 . 下面是小萱同学的数学周记,请仔细阅读并完成相应的任务.
筝形
在学习完平行四边形及特殊的平行四边形后,我发现生活中还有一种常见的特殊四边形−−筝形,可以类比平行四边形的研究路径“定义−性质−判定”研究筝形.
定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.如图1,四边形是筝形,其中,
性质1:两组邻边分别相等,即.(由定义可得)
性质2:对角线垂直平分对角线.
性质3:一组对角相等,即.
性质4:筝形的面积等于两条对角线乘积的一半.
判定:与平行四边形类似,筝形的性质与判定也具有互逆关系.
判定1:……
任务:
(1)填空:性质2的证明过程如下.
已知:如图2,四边形是筝形,.
证明:连接.
∴点A在的垂直平分线上.(依据1: )
∴点C在的垂直平分线上.
∴垂直平分.(依据2: )
(2)请你借助图3对性质3进行证明.(要求:写出已知、求证和证明过程)
筝形
在学习完平行四边形及特殊的平行四边形后,我发现生活中还有一种常见的特殊四边形−−筝形,可以类比平行四边形的研究路径“定义−性质−判定”研究筝形.
定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.如图1,四边形是筝形,其中,
性质:从整体看,筝形是轴对称图形,对称轴是对角线AC所在的直线;从局部看,应从边、角、对角线等角度探究筝形的性质.我发现,筝形有如下性质:
性质1:两组邻边分别相等,即.(由定义可得)
性质2:对角线垂直平分对角线.
性质3:一组对角相等,即.
性质4:筝形的面积等于两条对角线乘积的一半.
判定:与平行四边形类似,筝形的性质与判定也具有互逆关系.
判定1:……
任务:
(1)填空:性质2的证明过程如下.
已知:如图2,四边形是筝形,.
求证:垂直平分.
证明:连接.
∴点A在的垂直平分线上.(依据1: )
∴点C在的垂直平分线上.
∴垂直平分.(依据2: )
(2)请你借助图3对性质3进行证明.(要求:写出已知、求证和证明过程)
(3)图4的方格纸中每个小正方形的边长都为1,请在方格纸中画出一个顶点都在格点上且面积为6的筝形.
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