1 . 《九章算术》勾股章一五问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题∶知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾容正方形”）
其文如下：
题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？
答：方三步，十七分步之九．
术：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下∶
问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“勾容正方形”的边长是多少？
答案：
解法：
（1）问题探究
根据“勾股容方”中描述的直角三角形与其“勾容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明；
（2）类比探究
“勾股容圆”：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的内切圆的半径是多少？
（3）拓展运用
某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示，其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，．
今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆，该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为，考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的A，B，C，D四个点分别落在菱形场地的四条边上；②展馆主入口的宽度为，去年的规划方案是否可行？请说明理由．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，点与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为α，则的值为______．

3 . 正方形边长为，点是线段上的一动点，连接，以为边在直线右侧作等边三角形，则线段取得最小值时，的长为_________．

4 . 如图，四边形的对角线相交于点，过点O作交于点E，若，，则的长为_______．

5 . 如图，在中，点A，B，C在圆上，且，垂足为D，若，，则的长为（     ）

A．

B．2

C．

D．4

6 . 如图，半径为4的扇形，，分别以为直径在扇形内作半圆，交于点D，E，两半圆的另一个交点为，则四边形的面积为______．

8 . 已知正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，则的长为（     ）

A．4

B．5

C．6

D．6.5

9 . 如图，正方形纸片的边长为4，点在边上，点在边上，将正方形纸片沿对折，点的对应点是点，连接，若，则长的最小值是_______．

10 . 在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点C，D在双曲线的同一支上，直线交轴于点，直线交轴于点．若，则的值是______．