1 . 如图①是少年宫科技发明小组制作的一个钟表,钟面的大小会随时间的变化而发生改变,钟表底座为两根金属滑槽 和,且交于点,钟面由若干个形如菱形的可活动木条组成,指针绕点转动,菱形的顶点点 与点 用连杆连接.如图②,为 点的运动轨迹,与 交于点,连接,当与相切时,点,,恰好在同一条直线上.请仅就图②的情形解答下列问题:
(2)若,,,求的长.
(1)求证 ;
(2)若,,,求的长.
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2 . 如图所示,在中,,,,以A 为圆心,的长为半径作弧交于点 D,连接;再分别以点B 和点 D 为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧交于点 P,射线交于点E,则的长是______ .
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3 . 在等腰中,,.点为斜边 上一动点,连接,并构造以为斜边的等腰直角,若,则的长为_____ .
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4 . 如图所示,在等腰中,,, 为底边中线,将 沿射线方向平移得对应,连接,若 ,则的长为( )
A.6 | B.8 | C. | D. |
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5 . 综合与实践课上,老师让同学们以“旋转”为主题开展数学活动.
[问题情景]
如图1:在矩形中,,.将边绕点A逆时针旋转α度,得到线段,过点E作交直线于点F.[初步感知]
(1)当时.四边形的形状为________.周长为________(直接写出答案).
[深入探究]
(2)定义:若一个四边形有两组邻边分别相等,那么这个四边形叫做筝形.请你仅以图1判定四边形是否为筝形,说明理由,并求出此时四边形的周长(用含α的代数式表示).
[拓展提升]
(3)在[问题情景]的条件下,连接,当是以点E为直角顶点的直角三角形时,请直接写出此时的长度.
[问题情景]
如图1:在矩形中,,.将边绕点A逆时针旋转α度,得到线段,过点E作交直线于点F.[初步感知]
(1)当时.四边形的形状为________.周长为________(直接写出答案).
[深入探究]
(2)定义:若一个四边形有两组邻边分别相等,那么这个四边形叫做筝形.请你仅以图1判定四边形是否为筝形,说明理由,并求出此时四边形的周长(用含α的代数式表示).
[拓展提升]
(3)在[问题情景]的条件下,连接,当是以点E为直角顶点的直角三角形时,请直接写出此时的长度.
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6 . 在中,,点是直线上一动点(不与点重合),连接,在的右侧以为斜边作等腰直角三角形,点是的中点,连接.(1)【问题发现】如图1,当点是的中点时,线段与的数量关系是________,与的位置关系是________;
(2)【猜想论证】如图2,当点在边上且不是的中点时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请仅就图2中的情况给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)【拓展应用】若,其他条件不变,连接.当是等边三角形时,请直接写出的面积为________.
(2)【猜想论证】如图2,当点在边上且不是的中点时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请仅就图2中的情况给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)【拓展应用】若,其他条件不变,连接.当是等边三角形时,请直接写出的面积为________.
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7 . 《义务教育数学课程标准》(2022年)规定,切线长定理由“选学”改为“必学”,并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”.在学完《切线的性质与判定》后,王老师布置一题:
已知,如图所示,及外一点P.(1)按要求完成作图步骤并准确标注字母,
尺规作图:作出线段的垂直平分线交于点A;以点A为圆心,为半径作,与交于点B(点B位于直线上侧),连接.
(2)请问(1)中作图得到的是的切线吗?若是,请说明理由
(3)设(1)中所作垂直平分线交于点C,若半径为3,,求的长.
已知,如图所示,及外一点P.(1)按要求完成作图步骤并准确标注字母,
尺规作图:作出线段的垂直平分线交于点A;以点A为圆心,为半径作,与交于点B(点B位于直线上侧),连接.
(2)请问(1)中作图得到的是的切线吗?若是,请说明理由
(3)设(1)中所作垂直平分线交于点C,若半径为3,,求的长.
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8 . 如图,在中,,,,点P为上一点,将线段绕点P顺时针旋转得线段,点Q在射线上,当的垂直平分线经过直角边中点时,的长为___ .
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9 . 如图,矩形,边,将矩形折叠,使点B落在射线上,点B的对应点记为,折痕与边分别交于点E,F,当时,的长为_______ .
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10 . 如图,矩形的边长为2,将沿对角线翻折得到,与交于点E,再将沿进行翻折,得到.若两次折叠后,点恰好落在的边上,则的长为________ .
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