1 . 和是以点为公共顶点的等腰三角形，其中，，，连接．

(1)如图1，当，点在的延长线上时，点为中点，连接．若，，求的长；
(2)如图2，点为中点，连接，，交于点．点是上一点，连接．延长，相交于点．若，求证：；
(3)如图3，当，点在的延长线上时，延长至点，使得．延长至点，使得，连接．若，当的长度取最小值时，请直接写出的面积．

2 . 如图，在中，，，D，E是边上的两点，过点D，E分别作，，垂足为M，N，与的延长线交于点F，连接．

(1)若．
①求证：．
②试判断四边形是什么特殊的四边形，并说明理由．
(2)若，，，求的值．

3 . 如图1，在等腰三角形中，，，、在斜边上，且．

(1)将绕点按顺时针方向旋转得，连接（如图2）．
①试说明的理由；
②求证：；
(2)如图3，若原题中点仍在线段上，而点在的延长线上时，试判断、、之间的数量关系并说明理由．

4 . 综合与实践
【提出问题】在一次数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图，正方形中，点E是射线上的一个动点，过点E作交正方形的外角的平分线于点F．求证：．

小明的证明思路如下：
如图，在上截取，连接．
则易得，，____________．
∴．∴．
（1）补全小明的证明思路，横线处应填____________．
【深入探究】如图2，在上述题目的基础上，过点F作的平行线交直线于点G．以为斜边向右作等腰直角三角形．
（2）求证：；
（3）试探究线段与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（4）已知，当长为2时，请直接写出线段的长．

5 . 已知，在平面直角坐标系内，抛物线 交x 轴于A，B 两点，交 y轴于点C，且．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)点 P在抛物线的对称轴上，且使得的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线l，交抛物线于点 M，N，若的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，已知点 D是线段上(不含端点A，C)的一个动点，过点 D 作直线，交直线l于点E，过点E作，垂足为点 F，求线段的最小值．

6 . 已知一副三角板如图所示放置，含角的三角板的直角顶点 D 在含角的三角板斜边的中点处，点 M，N 分别是直角边 ，上的两点，且．连接，，其所在的两条直线相交于点 H，连接．当直角板在绕 D点旋转时，若，则长度的最小值为（       ）

   

A．

B．

C．

D．

7 . 如图，在中，，，是中线．点是上的动点（不与端点B，D重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．在延长线上存在点，使，连接．

   

(1)补全图形；
(2)判断的位置关系______，证明结论；
(3)若，且，直接写出______．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的正半轴上，以为邻边作矩形，连接，．

(1)如图，求点的坐标；
(2)如图，点为线段上一点，连接，作垂足为，设点的纵坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图，在（）的条件下，连接，为轴负半轴上一点，延长至点，连接，点在线段上，连接，，若，，且，求的值．

9 . 下列材料是人教版八年级下册数学教材第43页“实验与探究”的部分内容．

如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点．

某数学兴趣小组对该问题进行了进一步的探究．

(1)如图1，正方形的对角线相交于点O，则一定有      ，那么重叠部分面积恰好是正方形面积的      ，点O是正方形的一个顶点，小虹经过测量专则发现，此时重叠部分面积恰好是正方形面积的，则的值为      ；
(2)如图2，将一块足够大的等腰直角三角板的直角顶点与正方形的对角线交点O重合，两条直角边分别交正方形于E，F两点，小桥经过多次实验得到结论，线段的数量关系为            ；
(3)如图3，若将等腰直角三角板的一个角的顶点和正方形的一个顶点A重合放置，使得这个角的两条边分别交正方形的边于点M，N，交对角线于点P，Q，请你探究三角板在绕点A旋转时，线段之间的数量关系为      ．

10 . 如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，连接，下列选项中的结论错误的是（       ）

A．	B．无论点E在何位置，总有
C．若，则线段的最小值为	D．若，的最大值为