1 . 如图，正方形边长为，点在边上（点与点、不重合），过点作，垂足为，与边相交于点．

(1)求证∶；
(2)设，将的面积用含为的式子表示；若的面积为，求的长；
(3)在（）的条件下，取，的中点，，连接，求的长．

2 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在中，，点为直线上一动点（点不与、重合），以为边在右侧作正方形，连接．

(1)观察猜想：如图1，当点在线段上时，
①与的位置关系为：______；（将结论直接写在横线上）
②，，之间的数量关系为：______．（将结论直接写在横线上）
(2)数学思考：如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图3，当点在线段的延长线上时，延长交于点，连接．若已知，，则______．（将结论直接写在横线上）

3 . 【感知】如图1，在正方形中，、分别在边、上，于点．猜想线段与的数量关系为______；

【探究】数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究：

（1）如图2，在正方形中，若点、、、分别在边、、、上，于点，求证：；
（2）如图3，将中的条件“在正方形中”改为“在矩形中，，”，其他条件不变，则线段与的数量关系是______；
（3）如图4，在四边形中，，，点在上，且，连结，过点作交于点，交于点，直接写出线段的长．

4 . 如图，在正方形中，以为直径作半圆，点为半圆上一点，连结并延长交边于点，连结并延长交边于点，连结．

(1)求证：；
(2)当时，求的最小值；
(3)若，求的值．

5 . 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交线段于点．若，，那么正方形的面积为______．

6 . 【问题初探】
（1）用数学的眼光观察：如图1，在菱形中，，点E是对角线上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到EF，连接，，求的度数．

【类比分析】
（2）用数学的思维思考：如图2，在正方形中，点E是对角线上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，，判断C，D，F三点的位置关系，并说明理由；

【学以致用】
（3）用数学的语言表达：如图3在矩形中，，点E是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，连接，，若是以为腰的等腰三角形，求的长度．

7 . 如图1，四边形是正方形，，连接，是等腰直角三角形，，交于点M．

(1)若交边于点H，连接，求证：；
(2)若，求；
(3)如图2，若交直线于点N，交于点P，交的延长线于点G，连接，若P是的中点，求的长．

9 . 如图所示，点P是正方形的对角线上一点，，垂足分别是E、F．若，则的长是（       ）

A．6

B．8

C．10

D．14