1 . 四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．

(1)如图1，求证：矩形是正方形；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．

3 . 探究与证明
旋转是几何图形运动中的重要变换，数学探究课上，兴趣小组的同学以直角三角形为背景，借用教具或电脑软件工具进行数学实验，探究几何图形运动变化中的数学结论．

   

(1)实验发现：是任意直角三角形，．将绕顶点B顺时针旋转得到，旋转角为，直线交直线于点F．当点E落在边上时（如图1），猜想与数量关系为______；继续旋转，当时（如图2），判断四边形的形状为______．
(2)深入探究；在（1）中图2的基础上，将绕点B逆时针旋转，旋转角为，当时（如图3），直接写出，，的数量关系为______；继续旋转，当时（如图4），请写出线段，，的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用：在（2）的基础上，当时，若，，请直接写出的长．

4 . 如图，已知矩形纸片，，（）．

(1)如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点处，折痕交边于点E．求证：四边形是正方形．
(2)将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在边上的点处，点B落在点处，折痕交边于点F，连结，如图2，
①求证：．
②若，，求折痕的长．
③当为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系．

7 . 已知，矩形中，，，菱形的三个顶点分别在矩形的边上，，连接．

(1)如图，若，求证：菱形是正方形；
(2)如图，当点在矩形的外部时．探究：点到直线的距离是否发生变化？并说明理由；
(3)请直接写出面积的最小值．

8 . 如图1，在正方形中，E，F，G，H分别为边上的点，，连接，交点为O．

(1)如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形的边长为，，则图3中阴影部分的面积为         ．

9 . 菱形的对角线相交于点O，，点G是射线上一个动点，过点G作交射线于点E，以为邻边作矩形．

   

(1)如图①，当点F在线段上时，求证：；
(2)若延长与边交于点H，将沿直线翻折得到．
①如图②，当点M在上时，求证：四边形为正方形；
②如图③，当为定值m时，设，k为大于0的常数，当且仅当时，点M在矩形的外部，求m的值．