1 . 如图，矩形在平面直的坐标系中，点A在轴上，，点在轴上，，点在上，，点在轴上，以为边向下作平行四边形．

          

(1)求的值；
(2)点的横坐标是否为定值，请说明理由，并求出点的横坐标；
(3)若的面积被x轴分成1∶3两部分，请求出m的值；
(4)若点关于的对称点落在轴上，请求出点的坐标．（直接写出答案）

2 . 如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形和矩形，点、在边上（），且点、、、在直线的同侧；第二步，设置，矩形能在边上左右滑动；第三步，画出边的中点，射线与射线相交于点（点、不重合），射线与射线相交于点（点、不重合），观测、的长度．

   

(1)如图，小丽取，滑动矩形，当点、重合时，______；
(2)小丽滑动矩形，使得恰为边的中点．她发现对于任意的总成立．请说明理由；
(3)经过数次操作，小丽猜想，设定、的某种数量关系后，滑动矩形，总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．

4 . 【问题情境】
如图①，小区、位于一条笔直的道路的同侧，为了方便，两个小区居民投放垃圾，现在上建一个垃圾分类站，使得与，的距离之比为．

【初步研究】
（1）在线段上作出点，使．
如图，做法如下：

第一步：过点作射线，
以为圆心，任意长为半径画弧，交于点；
以为圆心，长为半径画弧，交于点；
以为圆心，长为半径画弧，交于点．
第二步：连接，作，交于点．
则点即为所求．
请证明所作的点满足．
【深入思考】
（2）如图，点在线段上，点在直线外，且．
求证：是的平分线．

【问题解决】
（3）如图，已知点，和直线，点在线段上，且．用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（ⅰ）在直线上作出点（异于点），使；
（ⅱ）在直线上作出点，使．