1 . （1）在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．
①如图1，AC＝BC，点E为AC的中点，求证：EF＝EG；
②如图2，BE平分∠CBA，AC＝2BC，试探究EF与EG的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图3，在△ABC中，若，点E在边AB上，点D在线段BC的延长线上，连接DE交AC于M，∠CMD＝60°，DE＝2AC，，直接写出BE的长．

2 . 探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：

．

（1）请就图①证明上述“模块”的合理性；
（2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：
①如图②，已知点，点在直线上运动，若，求此时点的坐标；
②如图③，过点作轴与轴的平行线，交直线于点，求点关于直线的对称点的坐标．

3 . 综合与探究
如图，已知抛物线经过点，定点为，对称轴交轴于点．点的坐标为，点是在轴下方的抛物线对称轴上的一个动点，交于点，轴交射线于点，作直线．

（1）求点的坐标；
（2）如图1，当点恰好落在该抛物线上时，求点的坐标；
（3）如图2，当时，判断点是否在直线上，说明理由；
（4）在（3）的条件下，延长交于点，取中点，连接，探究四边形是否为平行四边形，并说明理由．

4 . 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题．
如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．

小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小颖的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是　 　；
A．SSS       B．SAS       C．AAS        D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是　 　．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．
（3）在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，E是AD上一点，连结BE并延长交边AC于点F．
①如图3，若AD是△ABC的中线，且AF＝EF，求证：AC＝BE．
②如图4，若E是BF的中点，求证：AF•CD＝AC•BD

5 . 如图1，在中，，在斜边上取一点，过点作，交于点，现将绕点旋转一定角度到如图2所示的位置（点在的内部，使得）．

（1）①求证：；       ②若，求的长．
（2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，求的值．
（3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）

6 . 定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
理解：
（1）若四边形是对余四边形，则与的度数之和为______；
证明：
（2）如图1，是的直径，点在上，，相交于点D．
求证：四边形是对余四边形；

探究：
（3）如图2，在对余四边形中，，，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．

7 . 问题背景：如图，四边形中，，，，，，为边上一动点，连接、．
问题探究
（1）如图1，若，则的长为__________．
（2）如图2，请求出周长的最小值；
（3）如图3，过点作于点，过点分别作于，于点，连接
①是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由；
②请直接写出面积的最小值．

8 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c(a＞0)与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，点C为抛物线的顶点．点M(0，m)为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B'、C'．
（1）若a=1，求原抛物线的函数表达式；
（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C'的面积为40时，求m的值；
（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C'为菱形？请说明理由．
   

9 . 在中，，是平面内不与点重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接是的中点，是的中点．

（1）问题发现：
如图1，当时，的值是_________，直线与直线相交所成的较小角的度数是________．
（2）类比探究：
如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并说明理由．
（3）解决问题：
如图3，当时，若是的中点，点在直线上，且点在同一条直线上，请直接写出的值．

10 . 如图，二次函数(其中)的图像与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)点的坐标为　　，　　；
(2)若为的外心，且与的面积之比为，求的值；
(3)在(2)的条件下，试探究抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．