1 . 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．
【初步感知】
（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．

【深入探究】
（2）如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明．

【拓展运用】
（3）请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．

2 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使边与边重合，展开后得到折痕；
操作二：分别在，上取点，，将四边形沿EF折叠，点，的对应点分别落在点，处，连接．
根据以上操作，结合图（），判断下列结论不成立的是（       ）
A.             B.             C.                    D.
(2)迁移探究
小航将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，并按照（）中的方式操作，如图（）．
小航发现，此时（）中的选项，的结论均成立，请你加以证明．
的长度为__________．
(3)拓展探究
在（）的探究中，若将折叠，使点的对应点落在上，折痕分别交，于点，，如图（）．当是直角三角形时，直接写出的长．

4 . 《九章算术》勾股章一五问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题∶知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“勾容正方形”）
其文如下：
题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？
答：方三步，十七分步之九．
术：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下∶
问题：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的“勾容正方形”的边长是多少？
答案：
解法：
（1）问题探究
根据“勾股容方”中描述的直角三角形与其“勾容正方形”之间的关系，请提出一个数学命题，并证明；
（2）类比探究
“勾股容圆”：一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，它的内切圆的半径是多少？
（3）拓展运用
某市去年举办中小学校园文化展览，举办方在某广场搭建了一个展馆（平面示意图为正方形），并综合考虑参展主题、参展单位等因素将展馆划分为四个展区，规划方案如图所示，其中，是的中点，点，在边上，垂直平分，垂足为，．
今年，为了让更多人参与，举办方拟在北湖公园的一块菱形场地上搭建展馆，该菱形场地面积为，且两条对角线长度之和为，考虑到展览安全、公园环境等各方面的因素，若举办方希望沿用去年展馆及展区的规划方案，则展馆的建设需满足以下要求：①展馆平面示意图中的A，B，C，D四个点分别落在菱形场地的四条边上；②展馆主入口的宽度为，去年的规划方案是否可行？请说明理由．

5 . 如图1，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．

(1)问题发现：①当时______；
②当时，______．
(2)拓展探究：试判断当时，的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全：
∵，
③        ．
又∵旋转，
∴，
         ．
(3)用以上结论解决问题：当绕点逆时针旋转至，，三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段的长          ．