1 . 和的顶点重合，，，，．

　　　　　　　　　

(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：________，直线与直线的位置关系是________．
(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，点在的外部，连接、，当时，请你利用第（2）题的结论，求的值．

4 . （1）问题解决：如图1，点在一条直线上，，求证：；
（2）问题探究：在（1）的条件下，若点为的中点，求证：；
（3）拓展运用：如图2，在中，，点是的内心，若，求的长．

5 . 折纸是一种常见的游戏，九年级兴趣小组以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断：如图1，在矩形纸片中，，首先沿过点B的直线翻折，使点A落在边上的点E处，折痕为，连接；此时，就可以得到一个四边形，则四边形的形状是哪种特殊的四边形？答：____．
(2)深入探究：继续沿过点E的直线翻折，使点C落在边上的点G处，折痕为，连接，延长交于点M，连接．
①求证：；
②猜想线段和的数量关系，并证明；
(3)拓展应用：延长交矩形的边于点N，若，直接写出的值．

8 . 【问题】（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是______，与的位置关系是______；
（2）如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，
【探究】①如图2，以为边在的右侧作矩形，且，连接、，求证：；
【拓展】②如图3，以为边在的右侧作正方形，连接、，则面积的最小值为______．

9 . 【问题呈现】
如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：．

【类比探究】
如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，．则_________．
【拓展提升】
如图3，和都是直角三角形，，且，连接，．
（1）求的值．
（2）延长交于点，交于点，求的值．

10 . 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．
【初步感知】
（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．

【深入探究】
（2）如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明．

【拓展运用】
（3）请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．