名校
1 . 如图，四边形
是菱形，
，点E是
边上一动点，连接
，在右侧作菱形
使得菱形
菱形，连接
交
于点R，连接
．
（1）求证：
；
【深入探究】
（2）若R为中点，求
的值；
【拓展延伸】
（3）①若
，
是等腰三角形，求
的值；
②若D，F，G三点共线，连接
，求
的值．
是菱形，，点E是边上一动点，连接，在右侧作菱形使得菱形菱形，连接交于点R，连接．
（1）求证：
；【深入探究】
（2）若R为
中点，求的值；【拓展延伸】
（3）①若
，是等腰三角形，求的值；②若D，F，G三点共线，连接
，求的值．
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2 . 综合与实践
“领航”数学研究小组在数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．
实践探究：
四边形和四边形
都是正方形．
（1）连接
，如图1，试猜想与
的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，连接BG，如图2，若
，
，
，则
__________；
（3）连接
，如图3，则
与的数量关系为__________；
拓展应用：
（4）如图4，四边形和四边形都是平行四边形，
，
，且
，
，连接，则与的数量关系为__________．
“领航”数学研究小组在数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．
实践探究：
四边形
和四边形都是正方形．（1）连接
，如图1，试猜想与的数量关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，连接BG，如图2，若
，，，则__________；（3）连接
，如图3，则与的数量关系为__________；拓展应用：
（4）如图4，四边形
和四边形都是平行四边形，，，且，，连接，则与的数量关系为__________．
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2024-04-19更新
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150次组卷
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2卷引用：2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考一模数学试题
3 . 琅琊中学九年级一班同学利用工具，对几种四边形进行探究．中，该工具与正方形四条边的交点分别为E、F、G、H．
（1）若点O在边长为1的正方形的中心，直接写出
的最大值和最小值．
（2）试猜想
的值，并证明你的猜想．
【知识迁移】如图2，同学们又将该工具放入矩形中，该工具与矩形四条边的交点分别为E、F、G、H．若
，
，则
．（直接写出答案）
【拓展运用】如图3，同学们将工具放入四边形中，使其经过C、B两点，并与
边交于点
，与边交于点
．已知
，
，
．求
的值．
中，该工具与正方形四条边的交点分别为E、F、G、H．（1）若点O在边长为1的正方形
的中心，直接写出的最大值和最小值．（2）试猜想
的值，并证明你的猜想．【知识迁移】如图2，同学们又将该工具放入矩形
中，该工具与矩形四条边的交点分别为E、F、G、H．若，，则 ．（直接写出答案）【拓展运用】如图3，同学们将工具放入四边形
中，使其经过C、B两点，并与边交于点，与边交于点．已知，，．求的值．
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4 . 问题发现：
（1）如图1，已知正方形和正方形，直接写出与之间的数量关系：___________．
拓展探究：
（2）将正方形绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接
，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
类比迁移：
（3）如图3，已知菱形和菱形
，将菱形绕点A顺时针旋转
，连接，请在备用图中画出草图，判定与之间的数量关系是否随着
的变化而变化，并说明理由．
（1）如图1，已知正方形
和正方形，直接写出与之间的数量关系：___________．拓展探究：
（2）将正方形
绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，连接，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．类比迁移：
（3）如图3，已知菱形
和菱形，将菱形绕点A顺时针旋转，连接，请在备用图中画出草图，判定与之间的数量关系是否随着的变化而变化，并说明理由．
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5 . 【操作与发现】
如图①，在正方形中，点N，将
绕点A顺时针旋转
，点D与点B重合，从而可得：
．
，
，则正方形的边长是___________．
(2)如图②，在正方形中，点M、N分别在边
、上，
，若
，求证：M是
的中点．
(3)【拓展】如图③，在矩形，
，
，点M、N分别在边、上，连接
、
，
，则
的长是 ___________．
如图①，在正方形
中，点N，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，从而可得：．
，，则正方形的边长是___________．(2)如图②，在正方形
中，点M、N分别在边、上，，若，求证：M是的中点．(3)【拓展】如图③，在矩形
，，，点M、N分别在边、上，连接、，，则的长是 ___________．
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6 . 给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形．
证明：
(1)如图
，
是
的直径，点
、
、
在上，
，
相交于点
．求证：四边形
是对余四边形；
探究：
(2)如图
，在对余四边形中，
＝
，
、
为对角线，
，试探究线
、和
之间的数量关系，并说明理由．
拓展：
(3)已知，在
中，
，为外一点，且四边形为对余四边形，请直接写出对角线的最大值．
证明：
(1)如图
，是的直径，点、、在上，，相交于点．求证：四边形是对余四边形；探究：
(2)如图
，在对余四边形中，＝，、为对角线，，试探究线、和之间的数量关系，并说明理由．拓展：
(3)已知，在
中，，为外一点，且四边形为对余四边形，请直接写出对角线的最大值．
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7 . 在矩形中，
（k为常数），点P是对角线
上一动点（不与B，D重合），，将射线
绕点P逆时针旋转90°与射线
交于点E，连接
．
时，将点P移动到对角线交点处，则
______，
______；当点P移动到其它位置时，
的大小______（填“改变”或“不变”）；
(2)类比探究：如图2，若
时，当k的值确定时，请探究的大小是否会随着点
的移动而发生变化，并说明理由；
(3)拓展应用：当时，如图2，连接
，求
的长．
中，（k为常数），点P是对角线上一动点（不与B，D重合），，将射线绕点P逆时针旋转90°与射线交于点E，连接．
时，将点P移动到对角线交点处，则______， ______；当点P移动到其它位置时，的大小______（填“改变”或“不变”）；(2)类比探究：如图2，若
时，当k的值确定时，请探究的大小是否会随着点的移动而发生变化，并说明理由；(3)拓展应用：当
时，如图2，连接，求的长．
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2024-04-08更新
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488次组卷
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6卷引用：2021年湖北省老河口市中考适应性考试数学试题
2021年湖北省老河口市中考适应性考试数学试题2023年湖北省襄阳市宜城市中考一模数学试题2024年湖北省阳新县城区四校中考一模数学试题湖北省黄石市 阳新县陶港镇初级中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（已下线）考前特训03 几何解答题探究综合压轴题-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）2024年湖北省黄石市阳新县陶港镇初级中学中考一模数学试题
名校
8 . 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，
是等腰三角形，
，
，
交于点
，探究
与的数量关系．问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图（2），当
时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系；
(3)问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当
时，若
，求
的值．
是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当
时，直接写出的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求
与的数量关系；(3)问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当
时，若，求的值．
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9 . （1）【问题探究】如图1，点F是正方形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明
；
（2）【知识迁移】如图2，点F是平行四边形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明：
（3）【拓展应用】如图3，是
的中线，点E是上一点，过点C作
，连接并延长交
于点F，交于点G，若
，求
的值．
边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明；（2）【知识迁移】如图2，点F是平行四边形
边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明：（3）【拓展应用】如图3，
是的中线，点E是上一点，过点C作，连接并延长交于点F，交于点G，若，求的值．
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10 . 小明在学习了矩形与旋转的知识后，对矩形的一条边进行旋转探究，下面是他的探究过程，请你对下列问题进行解答：
如图，在矩形中，
，
，边绕点A顺时针旋转
得到
，作平分
交于点P，连接
．
(1)初步探究
①如图1，若
垂直平分，分别交，于点G，H，当
落在上时，
______，
的长度为______．
②如图2，当落在对角线上时，点到的距离为______．
(2)深入探究
如图3，若
，请用含x的代数式表示
的值．
(3)拓展探究
若与矩形的对角线垂直，请直接写出
的长．
如图，在矩形
中，，，边绕点A顺时针旋转得到，作平分交于点P，连接．(1)初步探究
①如图1，若
垂直平分，分别交，于点G，H，当落在上时，______，的长度为______．②如图2，当
落在对角线上时，点到的距离为______．(2)深入探究
如图3，若
，请用含x的代数式表示的值．(3)拓展探究
若
与矩形的对角线垂直，请直接写出的长．
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