1 . 在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形．

(1)概念理解：若为和谐三角形，且，则＝             ，＝             ，＝             ．（任意写一种即可）
(2)问题探究：如果在和谐三角形中，，那么的度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若的度数改变，写出的变化范围；若的度数不变，写出的度数，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图，内接于，为锐角，为圆的直径，．过点作，交直径于点E，交于点，若将分成的两部分的面积之比为，则一定为和谐三角形吗？请说明理由．

2 . 在中，，．

【问题提出】
（1）如图1，点D为边上一点，过D作于E点，连接，F为的中点，连接，，，则的形状是      ；
【问题探究】
（2）如图2，将图1中的绕点B按逆时针方向旋转，使点D落在边上，F为AD的中点，试判断的形状并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，若，，将绕点B按逆时针方向旋转，当点D在线段上时，直接写出线段的长      （用含m的式子表示）．

3 . 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学探究活动：
如图1，在矩形中，（其中），点是边上一动点（点不与重合），点是边的中点，连结，将矩形沿直线进行翻折，其顶点翻折后的对应点为，连结并延长，交边于点（点不与重合），过点作的平分线，交矩形的边于点．

   

(1)【初步感知】请判断与的位置关系，并说明理由；
(2)【特例探究】如图2，在点运动过程中，若、、三点在同一条直线上时，点与点刚好重合，求的值；
(3)【拓展应用】若，连结，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的值．

4 . 【问题情境】在数学活动课上，同学们在课上用两张矩形纸片进行探究活动.小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点.然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为，连接与．

【观察发现】
（1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为_________；位置关系为_________；
【探索猜想】
（2）如图3所示，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立?请说明理由；
【拓展延伸】
（3）在矩形的旋转过程中，交于点P，交于点O，连接，，是否为定值；如果是，请直接写出此定值，如果不是，请你说明理由.

5 . 综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图1中一个的角：     ．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1） 中的方式操作，延长交于点Q，连接．
①如图2， 当点M在上时， 求的度数．
②请同学们在图2中连接，交于点N．分别求出和的长．
(3)拓展应用
如图3，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），正方形纸片的边长仍然为， 仍然按照（1）中的方式操作， 延长交于点Q，连接．当 时，直接写出的长．

7 . 一块材料的形状是锐角三角形，下面分别对这块材料进行课题探究：
课本再现：
（1）在图1中，若边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少?

类比探究
（2）如图2，若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高与边的数量关系，并说明理由．
拓展延伸
（3）①如图3，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则的值为_______（直接写出结果）；
②如图4，若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件，求的值．

8 . 【问题呈现】
如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线、的交点．探究，的位置关系．

【问题探究】
（1）如图1，若和是等腰直角三角形，求证：；
（2）如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展应用】
（3）在（1）的条件下，，，将绕点A旋转，使点E恰好落在线段上，请直接写出此时的长度．

9 . 在中，，点在直线上，直线与的夹角为， 且，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，．

   

(1)【问题解决】
如图，若，则的度数为________，的值为______；
(2)【问题探究】
如图，若，判断的值是否发生变化？并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图，， 交于点， 点在线段上 ，，，求线段的长．

10 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察猜想】
（）如图，在正方形中，点分别是上的两点，连接，，则的值为__________．
（）如图，在矩形中，，，点是上的一点，连接，且，则的值为__________；
【类比探究】
（）如图，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．
【拓展延伸】
（）如图，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点分别在边上，连接，，．求的值．