1 . 如图，在中，点D、E、F分别在，，边上，，．

(1)求证：；
(2)设，若，求线段的长．

2 . 如图，的顶点在y轴上，两点都在x轴上，将边向右平移，平移后点的对应点为D，点的对应点为，线段交AC于点，若，则点的坐标为______．

3 . 如图，在正方形中，，点是边的中点，连接与交于点，点为的中点，点为上的动点．当时，则的长为(       )

A．

B．

C．

D．

4 . 数学活动课上，张老师引导同学们进行如下探究，如图1，将长为的铅笔斜靠在垂直于水平桌面的直尺的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．活动一：如图3，将铅笔绕端点A顺时针旋转，与交于点D．

(1)数学思考：若垂直，设．
①的长是______（用含x的代数式表示），的长是______（用含y的代数式表示）
②求y与x的函数关系式．
(2)活动二：若（1）中的x，y满足，根据（1）中求得的y与x的函数关系式，求x的值．

5 . 如图，在中，，，．动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发， 在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示的长．
(2)连结，如图①所示．当与相似时，求t的值．
(3)过点P作于D，连结，如图②所示．当时，直接写出线段的长．

6 . 如图，在正方形中，点是边上一点(不与点，重合)，且，交边于点．

   
(1)求证：
①；
②；
(2)若，求证：．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．
   
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．
(2)如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．
(3)如图②，连结，点M为线段上一点，点N为线段上一点，且，直接写出当n为何值时为等腰三角形．

8 . 如图，中，D是边上的一点，．


(1)在上求作一点E，使；（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)求证：．

9 . 数学实践活动是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发学习兴趣，提高动手动脑能力，改进学习方法，提高学习效率．
       
(1)发现解决：将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，，如图①，则=　      　；线段之间的数量关系为 　           　；
(2)类比引申：如图②，在矩形中，连接对角线，四边形是正方形，如果=，则矩形的面积是多少？
(3)拓展应用：如果图①中正方形纸片的边长为，沿剪开，再进行折叠，重合，折痕为．点上，，如图③，则的周长是多少？

10 . 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

(1)如图2，将正方形绕点A按逆时针方向旋转，求与的数量关系和位置关系；
(2)如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点A按顺时针方向旋转，求与的数量关系和位置关系；
(3)在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案）